derivar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Temos uma função composta onde o seno está elevado ao quadrado e, dentro dele, temos uma exponencial que também envolve o seno ao quadrado. Vamos quebrar isso em partes menores para facilitar a derivação.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, nossa função está organizada em camadas: primeiro calculamos
, depois
, e finalmente
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
- Derivada de
: - Usamos a regra da cadeia:
- Usamos a regra da cadeia:
- Derivada de
: - A derivada de
em relação a é , então: -
- A derivada de
- Derivada de
: - Novamente, usamos a regra da cadeia:
- Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, substituímos
e
de volta em termos de
:
- Lembrando que
, então - E
-
Passo 7
Juntando tudo, a derivada final fica:
Resposta
Portanto, a derivada de
é: