derivar
f(t) = sen^2(e^(sen^2(t)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Temos uma função composta onde o seno está elevado ao quadrado e, dentro dele, temos uma exponencial que também envolve o seno ao quadrado. Vamos quebrar isso em partes menores para facilitar a derivação.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, nossa função está organizada em camadas: primeiro calculamos , depois , e finalmente .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra da cadeia:
  2. Derivada de :
    • A derivada de em relação a é , então:
  3. Derivada de :
    • Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Agora, substituímos e de volta em termos de :
  • Lembrando que , então
  • E

Passo 7

Juntando tudo, a derivada final fica:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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