Em uma pequena roda-gigante, a altura (em metros) em que um passageiro se encontra no instante t (em segundos) é dada pela lei:
h(t) = 6 + 4 sen(3t/12), para t em [0, 270]
a) No início do passeio, a que altura se encontra o passageiro?
b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use p2 ≈ 1,4.
c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio?
d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre a altura de um passageiro em uma roda-gigante ao longo do tempo. O conteúdo principal aqui é trigonometria, especificamente usando funções seno para modelar movimentos periódicos. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a função do seno funciona e como aplicá-la para encontrar alturas em momentos específicos, além de calcular a altura mínima e o período da roda-gigante.

Passo 2

a) No início do passeio, a que altura se encontra o passageiro?
Vamos encontrar a altura do passageiro no instante inicial, ou seja, quando .
A função dada é:
Simplificando a fração dentro do seno:
Então, a função fica:
Agora vamos substituir :
Sabemos que , então:

Passo 3

b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use .
Vamos calcular a altura quando segundos.
Usando a mesma função:
Substituindo :
Calculando radianos.
Agora, sabendo que (usando uma calculadora) e :
Arredondando:

Passo 4

c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio?
A altura mínima ocorre quando a função seno atinge seu valor mínimo. Sabemos que o seno varia entre -1 e 1.
A função é:
O valor mínimo de é -1. Então:

Passo 5

d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa?
O tempo para uma volta completa é o período da função seno. A fórmula do período para uma função é:
Na nossa função:
Aqui, .
Então, o período é:
Aproximando:

Resposta

a) No início do passeio, o passageiro está a 6 metros de altura.
b) Após 9 segundos, o passageiro está a aproximadamente 9,1 metros de altura.
c) A altura mínima atingida pelo passageiro é de 2 metros.
d) O tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa é de aproximadamente 25,12 segundos.

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