Em uma pequena roda-gigante, a altura (em metros) em que um passageiro se encontra no instante
(em segundos) é dada pela lei:
a) No início do passeio, a que altura se encontra o passageiro?
b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use
.
c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio?
d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa?
b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use
c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio?
d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre a altura de um passageiro em uma roda-gigante ao longo do tempo. O conteúdo principal aqui é trigonometria, especificamente usando funções seno para modelar movimentos periódicos. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a função do seno funciona e como aplicá-la para encontrar alturas em momentos específicos, além de calcular a altura mínima e o período da roda-gigante.
Passo 2
a) No início do passeio, a que altura se encontra o passageiro?
Vamos encontrar a altura do passageiro no instante inicial, ou seja, quando
.
A função dada é:
Simplificando a fração dentro do seno:
Então, a função fica:
Agora vamos substituir
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use
.
Vamos calcular a altura quando
segundos.
Usando a mesma função:
Substituindo
:
Calculando
radianos.
Agora, sabendo que
(usando uma calculadora) e
:
Arredondando:
Passo 4
c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio?
A altura mínima ocorre quando a função seno atinge seu valor mínimo. Sabemos que o seno varia entre -1 e 1.
A função é:
O valor mínimo de
é -1. Então:
Passo 5
d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa?
O tempo para uma volta completa é o período da função seno. A fórmula do período
para uma função
é:
Na nossa função:
Aqui,
.
Então, o período é:
Aproximando:
Resposta
a) No início do passeio, o passageiro está a 6 metros de altura.
b) Após 9 segundos, o passageiro está a aproximadamente 9,1 metros de altura.
c) A altura mínima atingida pelo passageiro é de 2 metros.
d) O tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa é de aproximadamente 25,12 segundos.