Determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente ao gráfico de
. Desenhar a gráfica de
e a reta tangente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta que passa pelo ponto
e que é tangente ao gráfico da função
. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos supor que a reta tangente toca o gráfico de
em um ponto
. Nesse ponto, a coordenada
é
, e a inclinação da reta é
. A equação da reta tangente nesse ponto é então:
Passo 4
Essa reta tangente também passa pelo ponto
. Então, vamos substituir
e
na equação da reta:
Passo 5
Vamos substituir
e
pelas expressões que já encontramos:
Substituindo na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Expandindo e simplificando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Vamos verificar cada valor de
:
-
Para
: A equação da reta tangente é: -
Para
: A equação da reta tangente é:
Como a reta
também passa pelo ponto
, temos duas soluções possíveis.
Resposta
As equações das retas tangentes são:
Para desenhar os gráficos, plote a parábola
e as retas
e
.