Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (3/2, 1) e é tangente ao gráfico de f(x) = x^2 + 2x + 2. Desenhar a gráfica de f e a reta tangente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e que é tangente ao gráfico da função . Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos supor que a reta tangente toca o gráfico de em um ponto . Nesse ponto, a coordenada é , e a inclinação da reta é . A equação da reta tangente nesse ponto é então:

Passo 4

Essa reta tangente também passa pelo ponto . Então, vamos substituir e na equação da reta:

Passo 5

Vamos substituir e pelas expressões que já encontramos:
Substituindo na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Expandindo e simplificando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Vamos verificar cada valor de :
  1. Para :
    A equação da reta tangente é:
  2. Para :
    A equação da reta tangente é:
Como a reta também passa pelo ponto , temos duas soluções possíveis.

Resposta

As equações das retas tangentes são:
Para desenhar os gráficos, plote a parábola e as retas e .

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