Dar uma base e dimensão do subespaço:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o conceito de sistemas lineares e subespaços vetoriais. Precisamos resolver as equações que definem para identificar os vetores que formam a base e contar quantos vetores teremos, que será a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem :
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.

Passo 3

Simplificando a primeira equação:
Agora, temos em função de .

Passo 4

A terceira equação já está resolvida para :
Então, também está em função de .

Passo 5

Vamos substituir e na segunda equação:
Simplificando:
Para facilitar, vamos combinar os termos de :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, todas as variáveis estão expressas em função de :
Isso mostra que é a variável livre, ou seja, podemos escolher qualquer valor para e determinar os demais componentes.

Passo 7

Vamos representar um vetor genérico de em termos de :
Isso significa que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 8

Como é formado por múltiplos de um único vetor, a dimensão de é 1. Além disso, o vetor forma uma base para .

Resposta

A base de é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?
(a) ;
© ;
(b) ;
(d) .
Verifique que as matrizes abaixo formam uma base de
Suponha que é um conjunto linearmente independente de vetores de . Responda se é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e .
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.