Dar uma base e dimensão do subespaço:
W=(x, y, z, t) in R^4 ; 7 x-y=y e x-3 z+3 t=0, z=4 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o conceito de sistemas lineares e subespaços vetoriais. Precisamos resolver as equações que definem para identificar os vetores que formam a base e contar quantos vetores teremos, que será a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem W = (x, y, z, t) in R^4 ; 7x - y = y x - 3z + 3t = 0 z = 4y :
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.

Passo 3

Simplificando a primeira equação:
7x - y = y implies 7x - 2y = 0 implies 7x = 2y implies x = 27y
Agora, temos em função de .

Passo 4

A terceira equação já está resolvida para z = 4y :
Então, também está em função de .

Passo 5

Vamos substituir x - 3z + 3t = 0 implies 27y - 3(4y) + 3t = 0 e 27y - 12y + 3t = 0 na segunda equação:
(27 - 12)y + 3t = 0 implies -827y + 3t = 0
Simplificando:
3t = 827y implies t = 8221y
Para facilitar, vamos combinar os termos de :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, todas as variáveis estão expressas em função de x = 27y z = 4y t = 8221y :
Isso mostra que é a variável livre, ou seja, podemos escolher qualquer valor para e determinar os demais componentes.

Passo 7

Vamos representar um vetor genérico de (x, y, z, t) = ( 27y, y, 4y, 8221y ) = y ( 27, 1, 4, 8221 ) em termos de :
Isso significa que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 8

Como é formado por múltiplos de um único vetor, a dimensão de é 1. Além disso, o vetor forma uma base para .

Resposta

A base de é e a dimensão de é 1.

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