Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?
(a) ;
© ;
(b) ;
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre identificar quais conjuntos de vetores são linearmente dependentes. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte de dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos analisar cada conjunto de vetores e verificar se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores linearmente dependentes. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Isso significa que existe uma relação onde alguns dos vetores são “redundantes”.

Passo 3

Vamos começar com o conjunto (a) . Para ver se são dependentes, vamos verificar se o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros.
Então, procuramos números e tais que:
Isso dá as seguintes equações:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira, , então . Verificando na terceira equação: , que confirma nossa solução. Portanto, o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros, o que significa que o conjunto (a) é linearmente dependente.

Passo 4

Agora vamos para o conjunto (b) . Como temos apenas dois vetores, vamos verificar se um é múltiplo do outro.
Observamos que:
Isso mostra que o segundo vetor é simplesmente vezes o primeiro, confirmando que o conjunto (b) é linearmente dependente.

Passo 5

Vamos analisar o conjunto © . Para verificar a dependência, calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são dependentes.
A matriz é:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes. Portanto, o conjunto © não é linearmente dependente.

Passo 6

Finalmente, vamos para o conjunto (d) . Novamente, calculamos o determinante da matriz:
Calculando:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, o conjunto (d) é linearmente dependente.

Resposta

Os conjuntos (a), (b) e (d) são linearmente dependentes, enquanto o conjunto © é linearmente independente.

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(a) e ;
(b) e .