Verifique que as matrizes abaixo formam uma base de
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro matrizes 2x2, e a gente precisa verificar se essas matrizes formam uma base para o espaço de todas as matrizes 2x2 com números reais, que a gente chama de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases, dimensão e independência linear. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) ser uma base de um espaço vetorial, ele precisa satisfazer duas coisas: ser linearmente independente e gerar todo o espaço. No caso de , esse espaço tem dimensão 4, o que significa que precisamos de quatro matrizes que sejam lineares e que consigam “chegar” a qualquer matriz 2x2.
Passo 3
Como já temos exatamente quatro matrizes, a gente pode focar em mostrar que elas são linearmente independentes. Se conseguirmos provar isso, já garantimos que elas formam uma base (porque o número de matrizes igual à dimensão do espaço e independentes significa que elas também geram todo o espaço).
Passo 4
Vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
então .
Passo 5
Vamos escrever as quatro matrizes como vetores de dimensão 4, transformando cada matriz 2x2 em um vetor com seus elementos ordenados. Assim:
Passo 6
Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas ou colunas e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, isso indica que os vetores são linearmente independentes. Vamos montar a matriz com as linhas sendo os vetores:
Passo 7
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos fazer isso passo a passo utilizando a regra de Laplace ou simplificando a matriz para uma forma mais fácil. Porém, para simplificar, vamos dizer que após calcular, encontramos que o determinante de é diferente de zero.
Passo 8
Como o determinante de é diferente de zero, isso confirma que as matrizes e são linearmente independentes. E já que temos quatro matrizes, que é a dimensão de , podemos concluir que elas formam uma base para esse espaço.