Dar um exemplo: e , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente dar um exemplo onde, quando x se aproxima de algum valor a, as funções f(x) e g(x) ambas tendem ao infinito, mas a diferença entre elas, f(x) - g(x), tende a zero. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções que crescem sem parar próximas de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um valor para a onde x vai se aproximar. Vamos supor que a = 0 para facilitar. Agora, queremos funções f(x) e g(x) que, quando x se aproxima de 0, ambas crescem sem limite, ou seja, vão para mais infinito.

Passo 3

Vamos definir f(x) como uma função simples que tende ao infinito quando x se aproxima de 0. Por exemplo:
Quando x se aproxima de 0, cresce sem parar, indo para mais infinito.

Passo 4

Agora, precisamos definir g(x) de forma que também tenda ao infinito quando x se aproxima de 0, mas que a diferença tenda a zero. Uma maneira de fazer isso é fazer g(x) ser f(x) mais uma função que “cancela” a diferença. Então, podemos definir:
Aqui, também tende ao infinito quando x se aproxima de 0, porque domina.

Passo 5

Vamos calcular a diferença :
Agora, analisando o limite dessa diferença quando x se aproxima de 0:
Então, a diferença realmente tende a zero.

Resposta

Um exemplo que satisfaz as condições é:
Assim, quando se aproxima de 0, ambos e tendem a infinito, e .

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Mostre por meio de um exemplo que pode existir mesmo que nem nem existam.
Determine a derivada da função indicada:
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.