Resolva as seguintes P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem (P.V.I.) do tipo:
Aqui, a gente precisa encontrar a função que satisfaz essa equação e também a condição inicial . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão de uma equação linear:
No nosso caso, e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Esse fator ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração. A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral simplesmente retorna . Do lado direito, usamos integração por partes. Vamos lembrar que:
Escolhemos e . Então, e .
Aplicando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da P.V.I. é:

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b) de inclinação -3 , passando pelo ponto ;