Resolva as seguintes P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem (P.V.I.) do tipo:
Aqui, a gente precisa encontrar a função
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão de uma equação linear:
No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Esse fator ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral simplesmente retorna
. Do lado direito, usamos integração por partes. Vamos lembrar que:
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Aplicando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, colocamos tudo junto:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da P.V.I. é:
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de
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