Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do
:
a)
b)
e
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar sistemas de geradores para diferentes subespaços do
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos entender o que esse conjunto representa. A equação
significa que
. Isso define um plano no
onde
pode ser qualquer valor.
Para encontrar um sistema de geradores, escolhemos valores livres para
e
:
- Seja
e , então . - Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como .
Sistema de geradores para U:
Passo 3
b)
Aqui temos um conjunto definido por duas equações:
Substituindo, ficamos com
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
.
Podemos fatorar
:
Sistema de geradores para V:
Passo 4
c)
Essa é uma equação que define um plano no
. Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, escolhemos
e
como variáveis livres e expressamos o vetor genérico:
Sistema de geradores para W:
Passo 5
d)
Estamos procurando o conjunto de vetores que estão tanto em
quanto em
.
De
, já sabemos que:
E como
, para um vetor estar em
, devemos ter
.
Portanto,
Sistema de geradores para
:
Passo 6
e)
O somatório de subespaços
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
De
:
De
:
Então, qualquer vetor em
é:
Podemos expressar isso como combinação linear dos vetores
,
e
.
Sistema de geradores para
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
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, calcular:
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a)
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