Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R^3 :
a) U=(x, y, z) mid x-2 y=0
b) V=(x, y, z) mid x+z=0 e x-2 y=0
c) W=(x, y, z) mid x+2 y-3 z=0
d) U cap V
e) V+W

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar sistemas de geradores para diferentes subespaços do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

a) , (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,
Primeiro, vamos entender o que esse conjunto representa. A equação significa que . Isso define um plano no onde pode ser qualquer valor.
Para encontrar um sistema de geradores, escolhemos valores livres para e :
  • Seja e , então .
  • Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Sistema de geradores para U:

Passo 3

b) (2y, y, -2y) = y(2, 1, -2)
Aqui temos um conjunto definido por duas equações:
  1. , (2, 1, -2) ,
Substituindo, ficamos com . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Podemos fatorar :
Sistema de geradores para V:

Passo 4

c) x = -2y + 3z
Essa é uma equação que define um plano no (x, y, z) = (-2y + 3z, y, z) = y(-2, 1, 0) + z(3, 0, 1) . Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, , (-2, 1, 0), (3, 0, 1) , :
Agora, escolhemos e como variáveis livres e expressamos o vetor genérico:
Sistema de geradores para W:

Passo 5

d) V = , (2y, y, -2y) ,
Estamos procurando o conjunto de vetores que estão tanto em U cap V = , (2y, y, -2y) , = V quanto em , (2, 1, -2) , .
De , já sabemos que:
E como , para um vetor estar em , devemos ter .
Portanto,
Sistema de geradores para :

Passo 6

e) V = , (2, 1, -2) ,
O somatório de subespaços W = , (-2, 1, 0), (3, 0, 1) , consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de (2, 1, -2) + a(-2, 1, 0) + b(3, 0, 1) = (2 - 2a + 3b, 1 + a, -2 + b) e um vetor de , (2, 1, -2), (-2, 1, 0), (3, 0, 1) , .
De :
De :
Então, qualquer vetor em é:
Podemos expressar isso como combinação linear dos vetores , e .
Sistema de geradores para :

Resposta

a)
, (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,
b)
, (2, 1, -2) ,
c)
, (-2, 1, 0), (3, 0, 1) ,
d)
, (2, 1, -2) ,
e)
, (2, 1, -2), (-2, 1, 0), (3, 0, 1) ,

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