Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar sistemas de geradores para diferentes subespaços do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos entender o que esse conjunto representa. A equação significa que . Isso define um plano no onde pode ser qualquer valor.
Para encontrar um sistema de geradores, escolhemos valores livres para e :
  • Seja e , então .
  • Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Sistema de geradores para U:

Passo 3

b)
Aqui temos um conjunto definido por duas equações:
Substituindo, ficamos com . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Podemos fatorar :
Sistema de geradores para V:

Passo 4

c)
Essa é uma equação que define um plano no . Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, escolhemos e como variáveis livres e expressamos o vetor genérico:
Sistema de geradores para W:

Passo 5

d)
Estamos procurando o conjunto de vetores que estão tanto em quanto em .
De , já sabemos que:
E como , para um vetor estar em , devemos ter .
Portanto,
Sistema de geradores para :

Passo 6

e)
O somatório de subespaços consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
De :
De :
Então, qualquer vetor em é:
Podemos expressar isso como combinação linear dos vetores , e .
Sistema de geradores para :

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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a)
Sabendo que , calcular:
d)
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b)
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b)