Sabendo que , calcular:
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos duas partes no exercício:
  1. Primeira parte: Sabemos que o produto interno entre o vetor u e o produto vetorial entre v e w é igual a 2, ou seja, . Precisamos calcular o produto interno entre o produto vetorial de u e v com o vetor 3v, que é .
  2. Segunda parte: Temos três vetores , e e precisamos verificar se eles são coplanares, ou seja, se estão no mesmo plano.
Vamos resolver cada parte passo a passo usando álgebra vetorial.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte. Primeiro, é importante lembrar que o produto interno entre dois vetores nos dá uma medida de como esses vetores estão “alinhados”. Já o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular a ambos os vetores a e b.
Temos que . Queremos encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que o produto interno é distributivo em relação à multiplicação por escalar, então podemos puxar o 3 para fora:

Passo 4

Agora, precisamos entender o que é . Lembra que o produto vetorial é perpendicular a ambos u e v. Então, o produto interno entre um vetor perpendicular a v e v será zero, porque eles são ortogonais.
Matematicamente, isso é:

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão original:
Portanto, a primeira parte nos dá um resultado de zero.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: verificar se os vetores , e são coplanares.
Dois ou mais vetores são coplanares se eles estiverem no mesmo plano. Para três vetores, isso significa que o determinante formado por eles deve ser zero.

Passo 7

Vamos montar a matriz com os três vetores e calcular o determinante:
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:

Passo 8

Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:

Passo 9

Agora, substituindo de volta:

Passo 10

Como o determinante é 26, que não é igual a zero, isso significa que os três vetores não são coplanares.

Resposta

  1. Os vetores , e não são coplanares.

Exercícios relacionados

Sabendo que , calcular:
d)
Sabendo que , calcular:
c)
Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)
d)
e)
Sabendo que , calcular:
b)