Sabendo que , calcular:
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos duas partes no exercício:
Primeira parte: Sabemos que o produto interno entre o vetor u e o produto vetorial entre v e w é igual a 2, ou seja, . Precisamos calcular o produto interno entre o produto vetorial de u e v com o vetor 3v, que é .
Segunda parte: Temos três vetores , e e precisamos verificar se eles são coplanares, ou seja, se estão no mesmo plano.
Vamos resolver cada parte passo a passo usando álgebra vetorial.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte. Primeiro, é importante lembrar que o produto interno entre dois vetores nos dá uma medida de como esses vetores estão “alinhados”. Já o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular a ambos os vetores a e b.
Temos que . Queremos encontrar .
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que o produto interno é distributivo em relação à multiplicação por escalar, então podemos puxar o 3 para fora:
Passo 4
Agora, precisamos entender o que é . Lembra que o produto vetorial é perpendicular a ambos u e v. Então, o produto interno entre um vetor perpendicular a v e v será zero, porque eles são ortogonais.
Matematicamente, isso é:
Passo 5
Substituindo de volta na nossa expressão original:
Portanto, a primeira parte nos dá um resultado de zero.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: verificar se os vetores , e são coplanares.
Dois ou mais vetores são coplanares se eles estiverem no mesmo plano. Para três vetores, isso significa que o determinante formado por eles deve ser zero.
Passo 7
Vamos montar a matriz com os três vetores e calcular o determinante:
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:
Passo 8
Vamos calcular cada um desses menores:
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Passo 9
Agora, substituindo de volta:
Passo 10
Como o determinante é 26, que não é igual a zero, isso significa que os três vetores não são coplanares.