Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular: lang<=(u times v),(3 v)rang<=
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a) (1,-1,2),(2,2,1),(-2,0,4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos duas partes no exercício:
  1. Primeira parte: Sabemos que o produto interno entre o vetor u e o produto vetorial entre v e w é igual a 2, ou seja, lang<=u,(v times w)rang<==2. Precisamos calcular o produto interno entre o produto vetorial de u e v com o vetor 3v, que é lang<=(u times v), (3 v)rang<=.
  2. Segunda parte: Temos três vetores (1,-1,2), (2,2,1) e (-2,0,4) e precisamos verificar se eles são coplanares, ou seja, se estão no mesmo plano.
Vamos resolver cada parte passo a passo usando álgebra vetorial.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte. Primeiro, é importante lembrar que o produto interno entre dois vetores lang<=a, brang<= nos dá uma medida de como esses vetores estão “alinhados”. Já o produto vetorial a times b resulta em um vetor perpendicular a ambos os vetores a e b.
Temos que lang<=u,(v times w)rang<==2. Queremos encontrar lang<=(u times v), (3 v)rang<=.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar lang<=(u times v), (3 v)rang<=. Sabemos que o produto interno é distributivo em relação à multiplicação por escalar, então podemos puxar o 3 para fora:
lang<=(u times v), (3 v)rang<= = 3 lang<=u times v, vrang<=

Passo 4

Agora, precisamos entender o que é lang<=u times v, vrang<=. Lembra que o produto vetorial u times v é perpendicular a ambos u e v. Então, o produto interno entre um vetor perpendicular a v e v será zero, porque eles são ortogonais.
Matematicamente, isso é:
lang<=u times v, vrang<= = 0

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão original:
3 lang<=u times v, vrang<= = 3 times 0 = 0
Portanto, a primeira parte nos dá um resultado de zero.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: verificar se os vetores (1,-1,2), (2,2,1) e (-2,0,4) são coplanares.
Dois ou mais vetores são coplanares se eles estiverem no mesmo plano. Para três vetores, isso significa que o determinante formado por eles deve ser zero.

Passo 7

Vamos montar a matriz com os três vetores e calcular o determinante:
1 & -1 & 2 2 & 2 & 1 -2 & 0 & 4
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:
1 times 2 & 1 0 & 4 - (-1) times 2 & 1 -2 & 4 + 2 times 2 & 2 -2 & 0

Passo 8

Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
2 & 1 0 & 4 = (2)(4) - (1)(0) = 8
  1. Segundo menor:
2 & 1 -2 & 4 = (2)(4) - (1)(-2) = 8 + 2 = 10
  1. Terceiro menor:
2 & 2 -2 & 0 = (2)(0) - (2)(-2) = 0 + 4 = 4

Passo 9

Agora, substituindo de volta:
1 times 8 - (-1) times 10 + 2 times 4 = 8 + 10 + 8 = 26

Passo 10

Como o determinante é 26, que não é igual a zero, isso significa que os três vetores não são coplanares.

Resposta

  1. lang<=(u times v), (3 v)rang<= = 0
  2. Os vetores (1,-1,2), (2,2,1) e (-2,0,4) não são coplanares.

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