Sabendo que
, calcular:
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos dá que o produto escalar entre o vetor
e o produto vetorial entre
e
é igual a 2, ou seja,
. Precisamos calcular dois outros produtos escalares envolvendo diferentes arrangeamentos desses vetores e produtos vetoriais:
a)
b)
a)
b)
Para resolver isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Vamos revisar a propriedade da anti-comutatividade do produto vetorial. Sabemos que trocar a ordem dos vetores em um produto vetorial muda o sinal do resultado:
Isso significa que se temos
, então
será o negativo disso.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade ao item a). Temos:
Isso simplifica para:
E como sabemos que
, substituímos:
Passo 4
Para o item b), vamos usar a propriedade cíclica do produto escalar e vetorial. A propriedade cíclica nos diz que:
Isso significa que o valor do produto escalar será o mesmo se percorrermos os vetores de maneira circular.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao item b), temos:
Como sabemos que
, então:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do
:
a)
b) e
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Sabendo que
, calcular:
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a)
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a)
Verificar se os vetores são coplanares:
b)
b)
Encontre a transformação linear
cuja matriz que representa
é