Sabendo que , calcular:
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos dá que o produto escalar entre o vetor e o produto vetorial entre e é igual a 2, ou seja, . Precisamos calcular dois outros produtos escalares envolvendo diferentes arrangeamentos desses vetores e produtos vetoriais:
a)
b)
Para resolver isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Vamos revisar a propriedade da anti-comutatividade do produto vetorial. Sabemos que trocar a ordem dos vetores em um produto vetorial muda o sinal do resultado:
Isso significa que se temos , então será o negativo disso.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade ao item a). Temos:
Isso simplifica para:
E como sabemos que , substituímos:

Passo 4

Para o item b), vamos usar a propriedade cíclica do produto escalar e vetorial. A propriedade cíclica nos diz que:
Isso significa que o valor do produto escalar será o mesmo se percorrermos os vetores de maneira circular.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao item b), temos:
Como sabemos que , então:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)
d)
e)
Sabendo que , calcular:
4. Verificar se os vetores são coplanares:
a)
Verificar se os vetores são coplanares:
b)
Encontre a transformação linear cuja matriz que representa é