Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R^3 :
(a) U=(x, y, z) in R^3 / x-2 y=0 Resp.: [(2,1,0),(0,0,1)]
(b) W=(x, y, z) in R^3 / x+z=0 e x-2 y=0 Resp.: [(1,1 / 2,-1)]
© U cap W Resp.: [(2,1,0),(0,0,1)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos sistemas de geradores para certos subespaços de . Isso significa que precisamos identificar vetores que conseguem gerar todos os elementos desses subespaços através de combinações lineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): x = 2y .
Primeiro, entendemos que essa equação nos dá uma condição que os vetores no subespaço y = y devem satisfazer. A equação z = z pode ser reescrita como (x, y, z) = (2y, y, z) = y(2, 1, 0) + z(0, 0, 1) .
Agora, vamos expressar os vetores de em termos de e , já que não está restrito pela equação.
Então, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, os vetores e formam um sistema de geradores para .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): x + z = 0 .
Aqui temos um sistema de duas equações:
x - 2y = 0
x = 2y
Vamos resolver esse sistema para expressar 2y + z = 0 Rightarrow z = -2y , x = 2t e y = t em termos de variáveis livres.
Da segunda equação, temos:
z = -2t
Substituindo (x, y, z) = t(2, 1, -2) = t(1, 12, -1) times 2 na primeira equação:
Agora, pode ser qualquer número real. Vamos chamar , então:
Isso nos dá:
Mas para simplificar, podemos escolher , então o vetor gerador é .

Passo 4

Por fim, a parte ©: t(1, 12, -1) = t(2, 1, 0) times 12 + t(0, 0, 1) times (-1) .
A interseção consiste nos vetores que pertencem tanto a quanto a . Observando nossas soluções anteriores:
Em , temos todos os vetores da forma .
Em , temos os vetores da forma .
Para que um vetor pertença a ambos, deve ser possível expressi-lo como uma combinação dessas duas formas. Analisando, vemos que é um subconjunto de porque:
Se tivermos , podemos reescrever como:
Portanto, todos os vetores de já estão em , então .

Resposta

(a) Um sistema de geradores para é .
(b) Um sistema de geradores para é .
© A interseção também é .

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