Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do :
(a) Resp.:
(b) e Resp.:
© Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos sistemas de geradores para certos subespaços de . Isso significa que precisamos identificar vetores que conseguem gerar todos os elementos desses subespaços através de combinações lineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Primeiro, entendemos que essa equação nos dá uma condição que os vetores no subespaço devem satisfazer. A equação pode ser reescrita como .
Agora, vamos expressar os vetores de em termos de e , já que não está restrito pela equação.
Então, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, os vetores e formam um sistema de geradores para .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): .
Aqui temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar , e em termos de variáveis livres.
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Agora, pode ser qualquer número real. Vamos chamar , então:
Isso nos dá:
Mas para simplificar, podemos escolher , então o vetor gerador é .

Passo 4

Por fim, a parte ©: .
A interseção consiste nos vetores que pertencem tanto a quanto a . Observando nossas soluções anteriores:
Em , temos todos os vetores da forma .
Em , temos os vetores da forma .
Para que um vetor pertença a ambos, deve ser possível expressi-lo como uma combinação dessas duas formas. Analisando, vemos que é um subconjunto de porque:
Se tivermos , podemos reescrever como:
Portanto, todos os vetores de já estão em , então .

Resposta

(a) Um sistema de geradores para é .
(b) Um sistema de geradores para é .
© A interseção também é .

Exercícios relacionados

Se e , determinar
Seja a matriz . Determine:
(b) .
Dois vetores não-nulos e são paralelos se, e somente se, existe um escalar tal que (consequentemente, e ).
Seja o conjunto das matrizes triangular superior de ordem . Prove que é um subespaço vetorial real de . Obtenha uma base para e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right)\right} \operatorname{dim}(L)=6