Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
(a)
Resp.:
(b)
e
Resp.:
©
Resp.:
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos sistemas de geradores para certos subespaços de
. Isso significa que precisamos identificar vetores que conseguem gerar todos os elementos desses subespaços através de combinações lineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Primeiro, entendemos que essa equação nos dá uma condição que os vetores no subespaço
devem satisfazer. A equação
pode ser reescrita como
.
Agora, vamos expressar os vetores de
em termos de
e
, já que
não está restrito pela equação.
Então, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, os vetores
e
formam um sistema de geradores para
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
.
Aqui temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar
,
e
em termos de variáveis livres.
Da segunda equação, temos:
Substituindo
na primeira equação:
Agora,
pode ser qualquer número real. Vamos chamar
, então:
Isso nos dá:
Mas para simplificar, podemos escolher
, então o vetor gerador é
.
Passo 4
Por fim, a parte ©:
.
A interseção
consiste nos vetores que pertencem tanto a
quanto a
. Observando nossas soluções anteriores:
Em
, temos todos os vetores da forma
.
Em
, temos os vetores da forma
.
Para que um vetor pertença a ambos, deve ser possível expressi-lo como uma combinação dessas duas formas. Analisando, vemos que
é um subconjunto de
porque:
Se tivermos
, podemos reescrever como:
Portanto, todos os vetores de
já estão em
, então
.
Resposta
(a) Um sistema de geradores para
é
.
(b) Um sistema de geradores para
é
.
© A interseção
também é
.
Exercícios relacionados
Se
e
, determinar
Seja a matriz
. Determine:
(b) .
(b)
Dois vetores não-nulos
e
são paralelos se, e somente se, existe um escalar
tal que
(consequentemente,
e
).
Seja
o conjunto das matrizes triangular superior de ordem
. Prove que
é um subespaço vetorial real de
. Obtenha uma base para
e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Resp.: $\left{\left(