Seja o conjunto das matrizes triangular superior de ordem . Prove que é um subespaço vetorial real de . Obtenha uma base para e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left(\right),\left(\right),\left(\right),\left(\right),\left(\right),\left(\right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Passo 1
Beleza, vamos com calma! O exercício pede para a gente provar que o conjunto das matrizes triangulares superiores é um subespaço vetorial das matrizes com entradas reais, ou seja, . Além disso, precisamos encontrar uma base para e descobrir a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial, como provar que um conjunto é um subespaço, e o que são base e dimensão em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, uma matriz em tem a seguinte forma:
Passo 3
Agora, para provar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três condições:
O vetor zero está em : A matriz zero é triangular superior porque todos os seus elementos são zero.
Fechamento sob adição: Se e são matrizes triangulares superiores, então também será triangular superior.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se é uma matriz triangular superior e é um escalar real, então também será triangular superior.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
1. O vetor zero está em O = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
A matriz zero é:
Claramente, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, então .
Passo 5
2. Fechamento sob adição:
Sejam A = a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 , B = b11 & b12 & b13 0 & b22 & b23 0 & 0 & b33 e A + B = a11+b11 & a12+b12 & a13+b13 0 & a22+b22 & a23+b23 0 & 0 & a33+b33 duas matrizes em :
A soma é:
Como todos os elementos abaixo da diagonal permanecem zero, também é uma matriz triangular superior. Logo, é fechado sob adição.
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja A = a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 um escalar real e cA = c a11 & c a12 & c a13 0 & c a22 & c a23 0 & 0 & c a33 uma matriz em :
A multiplicação por escalar é:
Todos os elementos abaixo da diagonal continuam zero após a multiplicação, então também está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma base para E1 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E2 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E3 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , . Uma base é um conjunto de vetores (no nosso caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço E4 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E5 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , E6 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 .
Observando a estrutura das matrizes triangulares superiores, podemos identificar quais elementos são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Nessa matriz , os elementos são os que podem variar livremente.
Então, podemos construir as matrizes básicas onde cada uma delas tem um desses elementos igual a 1 e os demais iguais a 0:
Essas seis matrizes formam uma base para .
Passo 9
Finalmente, a dimensão de é igual ao número de vetores na base. Como identificamos seis matrizes básicas, a dimensão de é 6.