Dois vetores não-nulos
e
são paralelos se, e somente se, existe um escalar
tal que
(consequentemente,
e
).
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores não nulos,
e
, e queremos entender quando eles são paralelos. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre vetores e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem paralelos e como podemos relacioná-los usando um escalar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude (ou comprimento) e direção. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas, ou seja, eles estão “alinhos”.
Passo 3
A definição nos diz que dois vetores
e
são paralelos se e somente se existe um escalar
tal que
. Vamos quebrar isso:
- "Se": Se
, então eles são paralelos. - "Somente se": Se eles são paralelos, então existe um
tal que .
Isso é conhecido como uma bicondicional, ou seja, uma declaração que é verdadeira em ambos os sentidos.
Passo 4
Vamos provar essa bicondicional em duas partes: primeiro, assumimos que
e mostramos que os vetores são paralelos. Depois, assumimos que os vetores são paralelos e mostramos que existe tal
.
Passo 5
Parte 1: Se
, então
e
são paralelos.
Se
, isso significa que
é simplesmente uma versão de
escalada por
. Se
, eles apontam na mesma direção. Se
, eles apontam em direções opostas. Em ambos os casos, eles estão alinhados, ou seja, são paralelos.
Passo 6
Parte 2: Se
e
são paralelos, então existe um escalar
tal que
.
Se os vetores são paralelos, eles apontam na mesma direção ou em direções opostas. Isso significa que um é uma múltiplo escalar do outro. Então, deve existir um
tal que
.
Passo 7
Além disso, porque ambos os vetores são não-nulos, o escalar
não pode ser zero. Se fosse, teríamos
, o que contraria a condição de que
é não-nulo.
Resposta
Portanto, dois vetores não-nulos
e
são paralelos se e somente se existe um escalar
tal que
. Isso confirma a declaração inicial de que vetores paralelos podem ser relacionados por um múltiplo escalar.
Exercícios relacionados
Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
(a) Resp.:
(b) e
Resp.:
© Resp.:
(a)
(b)
©
Se
e
, determinar
Seja
o conjunto das matrizes triangular superior de ordem
. Prove que
é um subespaço vetorial real de
. Obtenha uma base para
e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Resp.: $\left{\left(
Se
e
não são paralelos, então
.