Dois vetores não-nulos u e v são paralelos se, e somente se, existe um escalar lambda tal que u=lambda v (consequentemente, lambda neq 0 e v=1lambda u ).

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores não nulos, u e v, e queremos entender quando eles são paralelos. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre vetores e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem paralelos e como podemos relacioná-los usando um escalar lambda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude (ou comprimento) e direção. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas, ou seja, eles estão “alinhos”.

Passo 3

A definição nos diz que dois vetores u e v são paralelos se e somente se existe um escalar lambda tal que u = lambda v. Vamos quebrar isso:
  • "Se": Se u = lambda v, então eles são paralelos.
  • "Somente se": Se eles são paralelos, então existe um lambda tal que u = lambda v.
Isso é conhecido como uma bicondicional, ou seja, uma declaração que é verdadeira em ambos os sentidos.

Passo 4

Vamos provar essa bicondicional em duas partes: primeiro, assumimos que u = lambda v e mostramos que os vetores são paralelos. Depois, assumimos que os vetores são paralelos e mostramos que existe tal lambda.

Passo 5

Parte 1: Se u = lambda v, então u e v são paralelos.
Se u = lambda v, isso significa que u é simplesmente uma versão de v escalada por lambda. Se lambda > 0, eles apontam na mesma direção. Se lambda < 0, eles apontam em direções opostas. Em ambos os casos, eles estão alinhados, ou seja, são paralelos.

Passo 6

Parte 2: Se u e v são paralelos, então existe um escalar lambda tal que u = lambda v.
Se os vetores são paralelos, eles apontam na mesma direção ou em direções opostas. Isso significa que um é uma múltiplo escalar do outro. Então, deve existir um lambda tal que u = lambda v.

Passo 7

Além disso, porque ambos os vetores são não-nulos, o escalar lambda não pode ser zero. Se fosse, teríamos u = 0, o que contraria a condição de que u é não-nulo.

Resposta

Portanto, dois vetores não-nulos u e v são paralelos se e somente se existe um escalar lambda neq 0 tal que u = lambda v. Isso confirma a declaração inicial de que vetores paralelos podem ser relacionados por um múltiplo escalar.

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