Dois vetores não-nulos e são paralelos se, e somente se, existe um escalar tal que (consequentemente, e ).

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores não nulos, e , e queremos entender quando eles são paralelos. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre vetores e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem paralelos e como podemos relacioná-los usando um escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude (ou comprimento) e direção. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas, ou seja, eles estão “alinhos”.

Passo 3

A definição nos diz que dois vetores e são paralelos se e somente se existe um escalar tal que . Vamos quebrar isso:
  • "Se": Se , então eles são paralelos.
  • "Somente se": Se eles são paralelos, então existe um tal que .
Isso é conhecido como uma bicondicional, ou seja, uma declaração que é verdadeira em ambos os sentidos.

Passo 4

Vamos provar essa bicondicional em duas partes: primeiro, assumimos que e mostramos que os vetores são paralelos. Depois, assumimos que os vetores são paralelos e mostramos que existe tal .

Passo 5

Parte 1: Se , então e são paralelos.
Se , isso significa que é simplesmente uma versão de escalada por . Se , eles apontam na mesma direção. Se , eles apontam em direções opostas. Em ambos os casos, eles estão alinhados, ou seja, são paralelos.

Passo 6

Parte 2: Se e são paralelos, então existe um escalar tal que .
Se os vetores são paralelos, eles apontam na mesma direção ou em direções opostas. Isso significa que um é uma múltiplo escalar do outro. Então, deve existir um tal que .

Passo 7

Além disso, porque ambos os vetores são não-nulos, o escalar não pode ser zero. Se fosse, teríamos , o que contraria a condição de que é não-nulo.

Resposta

Portanto, dois vetores não-nulos e são paralelos se e somente se existe um escalar tal que . Isso confirma a declaração inicial de que vetores paralelos podem ser relacionados por um múltiplo escalar.

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do :
(a) Resp.:
(b) e Resp.:
© Resp.:
Se e , determinar
Seja o conjunto das matrizes triangular superior de ordem . Prove que é um subespaço vetorial real de . Obtenha uma base para e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Se e não são paralelos, então .