Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
y'' + y' = 0 Resp: y(x) = c1 * e^(-x) + c2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Essa é uma equação homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, temos:
Isso porque , e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Assim, as soluções são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz nos dá uma parte da solução:
  • Para : , então a solução é .
  • Para : , então a solução é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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