Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Essa é uma equação homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Isso porque
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Assim, as soluções são
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz
nos dá uma parte da solução:
- Para
: , então a solução é . - Para
: , então a solução é .
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: