Resolva os problemas de valor inicial:
Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do segundo grau. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes:
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes que aparecem na solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Então, a equação característica é
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, usando
:
Então,
\quad
Agora, encontramos a derivada
:
Usando
:
Dividindo ambos os lados por 3:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
Finalmente, substituindo
e
na solução geral: