Resolva os problemas de valor inicial:
y'' - 9y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1 Resp: y(x) = 1/6 (7 e^(3 x) + 5 e^(-3 x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do segundo grau. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes: . Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes que aparecem na solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, temos:
Então, a equação característica é .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de :
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usando :
Então, \quad
Agora, encontramos a derivada :
Usando :
Dividindo ambos os lados por 3:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):

Resposta

Finalmente, substituindo e na solução geral:

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