Data:
Um bloco com massa repousa sobre um plano inclinado a uma distância da base do plano inclinado (ao longo do plano inclinado), enquanto um outro bloco, com massa , encontra-se sobre um segundo plano inclinado (tambêm a uma distância ao longo do plano inclinado), localizado de frente para o primeiro, conforme figura abaixo. A inclinação dos planos é e , como indicado na figura. Supondo que o atrito entre todas as superfícies é despresível e que os blocos colidem de forma perfeitamente inelástica após serem liberados a partir do repouso e descerem seus respectivo planos inclinados, determine a velocidade dos blocos após a colisão. Assuma que 0,97 e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois blocos descendo planos inclinados com ângulos diferentes e, depois, eles colidem e ficam grudados. O objetivo é descobrir qual a velocidade deles após a colisão. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática para encontrar a velocidade de cada bloco antes da colisão e depois aplicar a lei da conservação do momento para determinar a velocidade final após a colisão inelástica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração de cada bloco enquanto eles descem os planos inclinados. A aceleração de um objeto descendo um plano inclinado sem atrito é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é o ângulo de inclinação do plano
Para o primeiro bloco ( ) com ângulo , a aceleração será:
E para o segundo bloco ( ) com ângulo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de cada bloco quando eles chegam ao final do plano inclinado, ou seja, após percorrerem a distância . Usamos a equação da cinemática:
Como ambos os blocos partem do repouso ( ), a equação simplifica para:
Então, a velocidade do primeiro bloco é:
E a velocidade do segundo bloco é:

Passo 4

Vamos agora calcular numericamente as acelerações usando os valores dados:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular as velocidades dos blocos ao final dos planos:
Para o primeiro bloco:
Para o segundo bloco:

Passo 6

Agora que temos as velocidades antes da colisão, vamos aplicar a lei da conservação do momento linear. Para uma colisão inelástica, onde os blocos ficam grudados após a colisão, a conservação do momento é dada por:
Onde:
  • é a velocidade comum após a colisão
Substituindo os valores:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar :
Simplificando as raízes:
Substituindo de volta:
Somando os termos:

Resposta

A velocidade dos blocos após a colisão é aproximadamente .

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