Data:
Um bloco com massa M repousa sobre um plano inclinado a uma distância d da base do plano inclinado (ao longo do plano inclinado), enquanto um outro bloco, com massa 2 M, encontra-se sobre um segundo plano inclinado (tambêm a uma distância d ao longo do plano inclinado), localizado de frente para o primeiro, conforme figura abaixo. A inclinação dos planos é theta1 e theta2, como indicado na figura. Supondo que o atrito entre todas as superfícies é despresível e que os blocos colidem de forma perfeitamente inelástica após serem liberados a partir do repouso e descerem seus respectivo planos inclinados, determine a velocidade dos blocos após a colisão. Assuma que sen theta1 simeq 0,81, cos theta1 simeq 0,59, cos theta2 simeq 0,97 e sen theta2 simeq 0,25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois blocos descendo planos inclinados com ângulos diferentes e, depois, eles colidem e ficam grudados. O objetivo é descobrir qual a velocidade deles após a colisão. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática para encontrar a velocidade de cada bloco antes da colisão e depois aplicar a lei da conservação do momento para determinar a velocidade final após a colisão inelástica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração de cada bloco enquanto eles descem os planos inclinados. A aceleração de um objeto descendo um plano inclinado sem atrito é dada por:
a = g cdot sin(theta)
Onde:
  • a1 = g cdot sin(theta1) é a aceleração da gravidade ( a2 = g cdot sin(theta2) )
  • é o ângulo de inclinação do plano
Para o primeiro bloco ( ) com ângulo , a aceleração será:
E para o segundo bloco ( ) com ângulo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de cada bloco quando eles chegam ao final do plano inclinado, ou seja, após percorrerem a distância v^2 = v0^2 + 2 cdot a cdot d . Usamos a equação da cinemática:
v = raiz2 cdot a cdot d
Como ambos os blocos partem do repouso ( v1 = raiz2 cdot a1 cdot d = raiz2 cdot g cdot sin(theta1) cdot d ), a equação simplifica para:
v2 = raiz2 cdot a2 cdot d = raiz2 cdot g cdot sin(theta2) cdot d
Então, a velocidade do primeiro bloco é:
E a velocidade do segundo bloco é:

Passo 4

Vamos agora calcular numericamente as acelerações usando os valores dados:
Para sin(theta1) simeq 0,81 :
a1 = 9,8 , m/s^2 cdot 0,81 simeq 7,94 , m/s^2
Então:
sin(theta2) simeq 0,25
Para a2 = 9,8 , m/s^2 cdot 0,25 simeq 2,45 , m/s^2 :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular as velocidades dos blocos ao final dos planos:
Para o primeiro bloco:
v1 = raiz2 cdot 7,94 , m/s^2 cdot d = raiz15,88 cdot d , m/s
Para o segundo bloco:
v2 = raiz2 cdot 2,45 , m/s^2 cdot d = raiz4,9 cdot d , m/s

Passo 6

Agora que temos as velocidades antes da colisão, vamos aplicar a lei da conservação do momento linear. Para uma colisão inelástica, onde os blocos ficam grudados após a colisão, a conservação do momento é dada por:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v'
Onde:
  • M cdot raiz15,88 cdot d + 2M cdot raiz4,9 cdot d = (M + 2M) cdot v'
  • M ( raiz15,88 cdot d + 2 cdot raiz4,9 cdot d ) = 3M cdot v'
  • raiz15,88 cdot d + 2 cdot raiz4,9 cdot d = 3 v' é a velocidade comum após a colisão
Substituindo os valores:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar v' = raiz15,88 cdot d + 2 cdot raiz4,9 cdot d 3 :
raiz15,88 cdot d approx raiz15,88 cdot raizd approx 3,986 cdot raizd
Simplificando as raízes:
raiz4,9 cdot d = raiz4,9 cdot raizd = 2,21 cdot raizd
v' = 3,986 cdot raizd + 2 cdot 2,21 cdot raizd3 = 3,986 cdot raizd + 4,42 cdot raizd3
Substituindo de volta:
v' = 8,406 cdot raizd3 approx 2,802 cdot raizd , m/s
Somando os termos:

Resposta

A velocidade dos blocos após a colisão é aproximadamente .

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