Data:
Um bloco com massa
repousa sobre um plano inclinado a uma distância
da base do plano inclinado (ao longo do plano inclinado), enquanto um outro bloco, com massa
, encontra-se sobre um segundo plano inclinado (tambêm a uma distância
ao longo do plano inclinado), localizado de frente para o primeiro, conforme figura abaixo. A inclinação dos planos é
e
, como indicado na figura. Supondo que o atrito entre todas as superfícies é despresível e que os blocos colidem de forma perfeitamente inelástica após serem liberados a partir do repouso e descerem seus respectivo planos inclinados, determine a velocidade dos blocos após a colisão. Assuma que
0,97 e
.
Um bloco com massa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois blocos descendo planos inclinados com ângulos diferentes e, depois, eles colidem e ficam grudados. O objetivo é descobrir qual a velocidade deles após a colisão. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática para encontrar a velocidade de cada bloco antes da colisão e depois aplicar a lei da conservação do momento para determinar a velocidade final após a colisão inelástica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração de cada bloco enquanto eles descem os planos inclinados. A aceleração de um objeto descendo um plano inclinado sem atrito é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ) -
é o ângulo de inclinação do plano
Para o primeiro bloco (
) com ângulo
, a aceleração será:
E para o segundo bloco (
) com ângulo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade de cada bloco quando eles chegam ao final do plano inclinado, ou seja, após percorrerem a distância
. Usamos a equação da cinemática:
Como ambos os blocos partem do repouso (
), a equação simplifica para:
Então, a velocidade do primeiro bloco é:
E a velocidade do segundo bloco é:
Passo 4
Vamos agora calcular numericamente as acelerações usando os valores dados:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular as velocidades dos blocos ao final dos planos:
Para o primeiro bloco:
Para o segundo bloco:
Passo 6
Agora que temos as velocidades antes da colisão, vamos aplicar a lei da conservação do momento linear. Para uma colisão inelástica, onde os blocos ficam grudados após a colisão, a conservação do momento é dada por:
Onde:
-
-
-
é a velocidade comum após a colisão
Substituindo os valores:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 7
Vamos isolar
:
Simplificando as raízes:
Substituindo de volta:
Somando os termos:
Resposta
A velocidade dos blocos após a colisão é aproximadamente
.