Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a derivada da função:
Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas, que envolvem logaritmos naturais, raízes quadradas e frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Lembrando que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de , temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Precisamos derivar a função . Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada do logaritmo natural é , onde é uma função de .

Passo 5

Identificamos . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , usando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificamos a expressão de :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule:
Encontre os pontos críticos da função: