Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos explicar por que a função
é contínua em todos os números do seu domínio e também identificar qual é esse domínio. Para isso, vamos revisar o que significa continuidade e determinar para quais valores de
a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a função existe. Olhando para a função
, vemos que o denominador
não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos
, o que dá
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais menos
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “quebras” ou “saltos” no seu gráfico nesse ponto. Mais tecnicamente,
é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 4
Vamos analisar as partes da função
. Sabemos que:
- A função
é contínua para todos os valores de . - A função
também é contínua para todos os valores de .
Quando temos a divisão de duas funções contínuas, a função resultante será contínua onde o denominador não é zero.
Passo 5
Já determinamos que
, ou seja,
. Portanto, para todos os
no domínio
, tanto o numerador
quanto o denominador
são contínuos, e a divisão deles também será contínua.
Resposta
A função
é contínua em todos os números reais exceto
. O domínio da função é
, e
é contínua em todo esse domínio.
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