Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos explicar por que a função é contínua em todos os números do seu domínio e também identificar qual é esse domínio. Para isso, vamos revisar o que significa continuidade e determinar para quais valores de a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função existe. Olhando para a função , vemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos , o que dá . Portanto, o domínio de é todos os números reais menos , ou seja:
í

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “quebras” ou “saltos” no seu gráfico nesse ponto. Mais tecnicamente, é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 4

Vamos analisar as partes da função . Sabemos que:
  • A função é contínua para todos os valores de .
  • A função também é contínua para todos os valores de .
Quando temos a divisão de duas funções contínuas, a função resultante será contínua onde o denominador não é zero.

Passo 5

Já determinamos que , ou seja, . Portanto, para todos os no domínio , tanto o numerador quanto o denominador são contínuos, e a divisão deles também será contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os números reais exceto . O domínio da função é , e é contínua em todo esse domínio.

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