d/dx ln(raiz((x^2 - 1) / (x^2 + 5))) = 6x / ((x^2 - 1)(x^2 + 5))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, mais especificamente usando regras como a da cadeia e propriedades dos logaritmos e raízes. Vamos precisar entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Sabemos que . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Vamos separar a fração dentro do logaritmo usando a propriedade :

Passo 5

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de é , onde u é uma função de x. Aplicando isso a cada termo:

Passo 6

Calculando as derivadas individuais:

Passo 7

Substituindo essas derivadas de volta na expressão:

Passo 8

Simplificando os termos dentro dos parênteses:

Passo 9

Para combinar essas frações, encontramos um denominador comum, que é :

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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