O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz á equação diferencial
. (a) Ache a meia vida deste isótopo. (b) se hoje dispusermos de 50 mg deste ma-
tterial, quanto restará dela depois de 10 anos?
tterial, quanto restará dela depois de 10 anos?
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre decaimento radioativo do plutônio 241. A equação que descreve esse decaimento é
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e funções exponenciais para resolver as duas partes da questão: a meia-vida do isótopo e a quantidade restante após 10 anos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é meia-vida. É o tempo que leva para metade de uma quantidade inicial de uma substância radioativa se decompor. Para encontrar isso, precisamos resolver a equação diferencial dada.
Passo 3
A equação diferencial
é uma equação linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
onde:
-
é a quantidade de substância no tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a constante de decaimento (no caso, 0,0525).
Passo 4
Para achar a meia-vida (
), queremos encontrar o tempo
em que
. Vamos substituir na equação:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Isolando
:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando o valor:
Passo 8
Agora, para a segunda parte, queremos saber quanto restará de 50 mg após 10 anos. Usamos a mesma equação da solução:
Passo 9
Calculando o expoente:
Então:
Passo 10
Calculando
:
Portanto:
Resposta
(a) A meia-vida do plutônio 241 é aproximadamente 13,22 anos.
(b) Após 10 anos, restarão cerca de 29,55 mg dos 50 mg iniciais.