O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz á equação diferencial dQ/dt = -0,0525 Q. (a) Ache a meia vida deste isótopo. (b) se hoje dispusermos de 50 mg deste ma-
tterial, quanto restará dela depois de 10 anos?

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre decaimento radioativo do plutônio 241. A equação que descreve esse decaimento é . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e funções exponenciais para resolver as duas partes da questão: a meia-vida do isótopo e a quantidade restante após 10 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é meia-vida. É o tempo que leva para metade de uma quantidade inicial de uma substância radioativa se decompor. Para encontrar isso, precisamos resolver a equação diferencial dada.

Passo 3

A equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
onde:
  • é a quantidade de substância no tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a constante de decaimento (no caso, 0,0525).

Passo 4

Para achar a meia-vida ( ), queremos encontrar o tempo em que . Vamos substituir na equação:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Passo 6

Isolando :
Substituindo :

Passo 7

Calculando o valor:

Passo 8

Agora, para a segunda parte, queremos saber quanto restará de 50 mg após 10 anos. Usamos a mesma equação da solução:

Passo 9

Calculando o expoente:
Então:

Passo 10

Calculando :
Portanto:

Resposta

(a) A meia-vida do plutônio 241 é aproximadamente 13,22 anos.
(b) Após 10 anos, restarão cerca de 29,55 mg dos 50 mg iniciais.

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