Determinar o vetor gradiente das funções dadas, nos pontos indicados:
a) z = x*y - sen(x+y) ; P(pi/2, 0)
b) f(x, t) = (x + 2t) ln(x + 2t); P(e, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o vetor gradiente de duas funções diferentes nos pontos indicados. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) da questão: no ponto . O vetor gradiente é essencialmente uma “seta” que aponta na direção de maior crescimento da função, e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é pela regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Similar ao que fizemos com , a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a também é .

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar no ponto .
Primeiro, para :
Explicação: Substituímos e . Sabemos que .

Passo 6

Agora, para :
Explicação: Substituímos e . Novamente, .

Passo 7

Então, o vetor gradiente em é:

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) da questão: no ponto . O processo é similar: calcular as derivadas parciais em relação a e .

Passo 9

Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Usamos a regra do produto e a derivada de , onde .

Passo 10

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Aqui, derivamos em relação a , lembrando que .

Passo 11

Vamos avaliar no ponto . Primeiro, calculamos :

Passo 12

Para :

Passo 13

Para :

Resposta

a) O vetor gradiente de no ponto é .
b) O vetor gradiente de no ponto é .

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