Determinar o vetor gradiente das funções dadas, nos pontos indicados:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o vetor gradiente de duas funções diferentes nos pontos indicados. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) da questão: no ponto . O vetor gradiente é essencialmente uma “seta” que aponta na direção de maior crescimento da função, e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é pela regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Similar ao que fizemos com , a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a também é .
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar no ponto.
Primeiro, para :
Explicação: Substituímos e . Sabemos que .
Passo 6
Agora, para :
Explicação: Substituímos e . Novamente, .
Passo 7
Então, o vetor gradiente em é:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b) da questão: no ponto . O processo é similar: calcular as derivadas parciais em relação a e .
Passo 9
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Usamos a regra do produto e a derivada de , onde .
Passo 10
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Explicação: Aqui, derivamos em relação a , lembrando que .