Identifique a região de onde as funções dadas são diferenciáveis:
a) f(x, y) = { raiz(x^2 + y^2 + 1), se x^2 + y^2 < 1; 0, se x^2 + y^2 ≥ 1 }
b) f(x, y) = { (x^3 * y) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de cálculo multivariável! A gente tem duas funções definidas em duas partes diferentes e precisamos descobrir em quais regiões do plano elas são diferenciáveis. Isso envolve entender onde as funções têm derivadas parciais contínuas. Vamos precisar lembrar um pouquinho sobre diferenciabilidade e condições para que uma função seja diferenciável.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos analisar a função:
Queremos saber onde essa função é diferenciável. Diferenciabilidade, basicamente, significa que a função tem derivadas parciais contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos verificar as duas regiões separadamente:
  1. Dentro do círculo : Aqui, a função é . Essa é uma composição de funções polinomiais e raiz quadrada, que são todas diferenciáveis em todo o domínio onde estão definidas. Portanto, nessa região, a função é diferenciável.
  2. Fora e na fronteira do círculo : Aqui, a função é constante, igual a 0. Funções constantes são sempre diferenciáveis porque suas derivadas parciais são zero e contínuas.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade e diferenciabilidade na fronteira . A diferenciabilidade depende também da suavidade da transição entre as duas definições da função nessa fronteira.
Vamos calcular os limites:
  • Para :
  • Para :
Como os limites laterais não coincidem ( ≠ 0), a função tem uma descontinuidade na fronteira. Portanto, a função não é diferenciável nesses pontos.

Passo 5

Conclusão da parte a): A função é diferenciável em todas as regiões onde e . Porém, na fronteira , a função não é diferenciável devido à descontinuidade.

Passo 6

Parte b) Agora, vamos para a segunda função:
Queremos descobrir onde essa função é diferenciável.

Passo 7

Primeiro, vamos analisar a região onde :
A função é . Ambas as partes, polinômios no numerador e denominador, são diferenciáveis onde o denominador não é zero, ou seja, em todo exceto no ponto . Portanto, nessa região, a função é diferenciável.

Passo 8

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto . Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em :
Então, as derivadas parciais em existem e são iguais a zero. Mas precisamos verificar se a função é diferenciável, ou seja, se a aproximação linear realmente representa bem a função perto de .

Passo 9

Para verificar a diferenciabilidade, analisamos o limite:
Simplificando:
Vamos usar coordenadas polares onde e :
Como o limite é zero, a função é diferenciável em .

Passo 10

Conclusão da parte b): A função é diferenciável em todo o plano , incluindo o ponto .

Resposta

a) A função é diferenciável para todos os pontos onde e . Ela não é diferenciável na fronteira onde .
b) A função é diferenciável em todo o plano , incluindo o ponto .

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