Identifique a região de
onde as funções dadas são diferenciáveis:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de cálculo multivariável! A gente tem duas funções definidas em duas partes diferentes e precisamos descobrir em quais regiões do plano
elas são diferenciáveis. Isso envolve entender onde as funções têm derivadas parciais contínuas. Vamos precisar lembrar um pouquinho sobre diferenciabilidade e condições para que uma função seja diferenciável.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos analisar a função:
Queremos saber onde essa função é diferenciável. Diferenciabilidade, basicamente, significa que a função tem derivadas parciais contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos verificar as duas regiões separadamente:
-
Dentro do círculo
: Aqui, a função é . Essa é uma composição de funções polinomiais e raiz quadrada, que são todas diferenciáveis em todo o domínio onde estão definidas. Portanto, nessa região, a função é diferenciável. -
Fora e na fronteira do círculo
: Aqui, a função é constante, igual a 0. Funções constantes são sempre diferenciáveis porque suas derivadas parciais são zero e contínuas.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade e diferenciabilidade na fronteira
. A diferenciabilidade depende também da suavidade da transição entre as duas definições da função nessa fronteira.
Vamos calcular os limites:
- Para
: - Para
:
Como os limites laterais não coincidem (
≠ 0), a função tem uma descontinuidade na fronteira. Portanto, a função
não é diferenciável nesses pontos.
Passo 5
Conclusão da parte a): A função
é diferenciável em todas as regiões onde
e
. Porém, na fronteira
, a função não é diferenciável devido à descontinuidade.
Passo 6
Parte b) Agora, vamos para a segunda função:
Queremos descobrir onde essa função é diferenciável.
Passo 7
Primeiro, vamos analisar a região onde
:
A função é
. Ambas as partes, polinômios no numerador e denominador, são diferenciáveis onde o denominador não é zero, ou seja, em todo
exceto no ponto
. Portanto, nessa região, a função
é diferenciável.
Passo 8
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade no ponto
. Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em
:
Então, as derivadas parciais em
existem e são iguais a zero. Mas precisamos verificar se a função é diferenciável, ou seja, se a aproximação linear realmente representa bem a função perto de
.
Passo 9
Para verificar a diferenciabilidade, analisamos o limite:
Simplificando:
Vamos usar coordenadas polares onde
e
:
Como o limite é zero, a função é diferenciável em
.
Passo 10
Conclusão da parte b): A função
é diferenciável em todo o plano
, incluindo o ponto
.
Resposta
a) A função
é diferenciável para todos os pontos onde
e
. Ela não é diferenciável na fronteira onde
.
b) A função
é diferenciável em todo o plano
, incluindo o ponto
.