Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Você tem que calcular a integral
usando o método de substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e trigonometria. Vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Note que isso se assemelha a
, onde podemos usar uma substituição trigonométrica. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos usar a substituição
. Isso porque, com essa substituição,
, o que simplifica a raiz.
Passo 4
Derivando
, temos:
Substituímos
e
na integral original.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Simplificando os coeficientes e as funções trigonométricas:
Sabemos que
, então
.
Passo 7
A integral agora é:
Usamos a identidade trigonométrica
para facilitar a integração.
Passo 8
Substituindo a identidade:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então
e
. Também,
.
Passo 10
Usando um triângulo retângulo onde
, temos:
Então:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a: