Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais; integral raizx^2-9 d xx^3

Passo 1

Você tem que calcular a integral usando o método de substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e trigonometria. Vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Note que isso se assemelha a , onde podemos usar uma substituição trigonométrica. Aqui, e .

Passo 3

Vamos usar a substituição . Isso porque, com essa substituição, , o que simplifica a raiz.

Passo 4

Derivando dx = 3secthetatantheta dtheta , temos:
Substituímos e na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral raiz(3sectheta)^2 - 9(3sectheta)^3 cdot 3secthetatantheta dtheta = integral 3tantheta27sec^3theta cdot 3secthetatantheta dtheta

Passo 6

Simplificando os coeficientes e as funções trigonométricas:
integral 9tan^2theta27sec^2theta dtheta = 13 integral tan^2theta cos^2theta dtheta
Sabemos que , então .

Passo 7

A integral agora é:
13 integral sin^2theta dtheta
Usamos a identidade trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 8

Substituindo a identidade:
13 integral 1 - cos2theta2 dtheta = 16 integral (1 - cos2theta) dtheta
Integrando termo a termo:
16 ( theta - sin2theta2 ) + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , então e . Também, .

Passo 10

Usando um triângulo retângulo onde sintheta = raizx^2 - 9x, costheta = 3x , temos:
sin2theta = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6raizx^2 - 9x^2
Então:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão integrada:
16 ( sec^-1(x3) - 6raizx^2 - 92x^2 ) + C = 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C

Resposta

A integral 16 sec^-1(x3) - raizx^2 - 92x^2 + C é igual a:

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