Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial
deseja investir à uma taxa anual de
ao ano.
(b) Mostre que se o capital tiver
composições de rendimentos
por ano, então o capital após
será de
. Estude o que ocorre para valores grandes de
.
(b) Mostre que se o capital tiver
Passo 1
Então, a gente tem um investidor que começa com um capital inicial
e quer investir a uma taxa anual de
ao ano. A questão pede pra gente mostrar como o capital cresce se a gente faz a capitalização dos juros
vezes por ano, cada vez com uma taxa de
. Vamos precisar usar a fórmula de juros compostos e entender como ela funciona quando aumentamos o número de capitalizações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica de juros compostos. Quando investimos um valor inicial
a uma taxa de juros anual
, capitalizada
vezes por ano, o valor do capital após
anos é dado por:
Aqui, cada período de capitalização tem uma taxa de
, e como são
capitalizações por ano, ao longo de
anos temos
períodos no total.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando aumentamos o número de capitalizações
. Conforme
vai ficando maior, a taxa por período
fica menor, mas o número de períodos
aumenta. A expressão
começa a se aproximar de uma função exponencial.
Quando
tende ao infinito, a fórmula se simplifica para:
Isso significa que, com capitalizações infinitamente frequentes, o capital cresce de acordo com a função exponencial, conhecida como juros compostos contínuos.
Resposta
Após analisar, verificamos que para valores grandes de
, o capital evolui para:
Isso mostra que com capitalizações contínuas, o crescimento do investimento segue a função exponencial.