Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C_0 > 0 deseja investir à uma taxa anual de alpha % ao ano.
(b) Mostre que se o capital tiver k composições de rendimentos α/k % por ano, então o capital após t será de C(t) = C0 * (1 + α/k)^(k * t). Estude o que ocorre para valores grandes de k.

Passo 1

Então, a gente tem um investidor que começa com um capital inicial e quer investir a uma taxa anual de ao ano. A questão pede pra gente mostrar como o capital cresce se a gente faz a capitalização dos juros vezes por ano, cada vez com uma taxa de . Vamos precisar usar a fórmula de juros compostos e entender como ela funciona quando aumentamos o número de capitalizações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica de juros compostos. Quando investimos um valor inicial a uma taxa de juros anual , capitalizada vezes por ano, o valor do capital após anos é dado por:
Aqui, cada período de capitalização tem uma taxa de , e como são capitalizações por ano, ao longo de anos temos períodos no total.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando aumentamos o número de capitalizações . Conforme vai ficando maior, a taxa por período fica menor, mas o número de períodos aumenta. A expressão começa a se aproximar de uma função exponencial.
Quando tende ao infinito, a fórmula se simplifica para:
Isso significa que, com capitalizações infinitamente frequentes, o capital cresce de acordo com a função exponencial, conhecida como juros compostos contínuos.

Resposta

Após analisar, verificamos que para valores grandes de , o capital evolui para:
Isso mostra que com capitalizações contínuas, o crescimento do investimento segue a função exponencial.

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