Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© Se v1, v2, v3 é um conjunto linearmente independente, então também o é o conjunto k v1, k v2, k v3, para cada escalar não-nulo k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa. A afirmação é: se o conjunto é linearmente independente, então o conjunto também é linearmente independente, para qualquer escalar que não seja zero. Vamos precisar entender o que é independência linear e ver como a multiplicação por um escalar afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto b1(k v1) + b2(k v2) + b3(k v3) = 0 . Queremos ver se esse novo conjunto também é linearmente independente. Então, consideramos uma combinação linear desses novos vetores:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
k(b1v1 + b2v2 + b3v3) = 0
Como b1v1 + b2v2 + b3v3 = 0 , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Pela definição de linearmente independente, sabemos que a única solução para essa equação é . Ou seja, a combinação linear dos vetores originais sendo zero implica que todos os coeficientes são zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que a única solução para a combinação linear dos vetores ser zero também é . Isso significa que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira. Multiplicar vetores linearmente independentes por um escalar não-nulo mantém a independência linear do conjunto.

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