Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© Se
é um conjunto linearmente independente, então também o é o conjunto
, para cada escalar não-nulo
.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa. A afirmação é: se o conjunto
é linearmente independente, então o conjunto
também é linearmente independente, para qualquer escalar
que não seja zero. Vamos precisar entender o que é independência linear e ver como a multiplicação por um escalar afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Queremos ver se esse novo conjunto também é linearmente independente. Então, consideramos uma combinação linear desses novos vetores:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Pela definição de linearmente independente, sabemos que a única solução para essa equação é
. Ou seja, a combinação linear dos vetores originais sendo zero implica que todos os coeficientes são zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que a única solução para a combinação linear dos vetores
ser zero também é
. Isso significa que o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira. Multiplicar vetores linearmente independentes por um escalar não-nulo mantém a independência linear do conjunto.