Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(d) é um conjunto linearmente dependente de vetores não-nulos, então cada vetor no conjunto pode ser obtido como uma combinação linear dos outros dois.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto de três vetores não-nulos, v1, v2, v3, que é linearmente dependente. O conteúdo envolve dependência linear e combinações lineares. Para resolver, precisamos entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente e como os vetores podem ser combinados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Ou seja, existe alguma relação onde coeficientes não todos zero multiplicam os vetores e dão o vetor zero.
Passo 3
No nosso caso, temos três vetores v1, v2, v3. Como o conjunto é linearmente dependente, isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser expresso como combinação dos outros dois. Por exemplo, podemos ter:
v3 = av1 + bv2
onde a e b são constantes.
Passo 4
No entanto, a afirmação do exercício diz que cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinação dos outros dois. Isso implica que não apenas um, mas todos os vetores seriam combinações entre si. Vamos ver se isso é sempre verdade ou se existe alguma situação onde não acontece.
Passo 5
Imagine um caso onde v1 e v2 são vetores distintos e v3 já é uma combinação de v1 e v2. Nesse caso, só v3 pode ser escrito como combinação dos outros dois. Mas as combinações para v1 e v2 não são necessariamente possíveis usando os outros vetores, já que v3 depende deles.
Passo 6
Portanto, nem sempre todos os vetores podem ser escritos como combinação dos outros dois. Só garantimos que pelo menos um vetor pode ser expresso dessa forma quando o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
Às vezes falso. Nem sempre cada vetor pode ser obtido como combinação linear dos outros dois.