Encontre uma base do subespaço de P2 gerado pelos vetores dados.
(b) 1+x, x^2,-2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar uma base do subespaço de gerado pelos vetores , e . Aqui, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaço, combinação linear e base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os vetores fornecidos: , e . Notamos que , que é o polinômio nulo. O polinômio nulo não contribui para o subespaço gerado, então podemos ignorá-lo. Assim, nosso foco fica em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Nesse caso, não há como ser uma múltiplo de ou vice-versa, já que eles têm graus diferentes. Portanto, esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores e são linearmente independentes e estão no espaço , eles formam uma base para o subespaço gerado. Uma base é justamente um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.

Resposta

Uma base do subespaço de gerado pelos vetores dados é .

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