Use o Wronskiano para determinar se o conjunto de funções abaixo são ou não linearmente independentes:
(h) sen x, cos x, x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente usar o Wronskiano para descobrir se as funções , sen x e são linearmente independentes. Isso está no conteúdo de Equações Diferenciais e Linearidade de Funções. Para resolver, precisamos saber calcular derivadas e montar o Wronskiano dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para três funções W = f1 & f2 & f3 f1' & f2' & f3' f1'' & f2'' & f3'' , e , o Wronskiano é uma matriz cuja primeira linha é , , , a segunda linha são as primeiras derivadas dessas funções, e a terceira linha são as segundas derivadas. Matematicamente, fica assim:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
  1. Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  2. Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  3. Para :
    • Primeira derivada: Usamos a regra do produto:
    • Segunda derivada: Derivando novamente, temos:

Passo 4

Agora, vamos montar o Wronskiano com essas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para facilitar, vamos expandir o determinante:
Calculando cada menor:
  1. Primeiro menor:
Simplificando:
(Lembrando que )
  1. Segundo menor:
Simplificando:
  1. Terceiro menor:

Passo 6

Substituindo os menores no determinante:
Simplificando:
Observamos que e se cancelam:
Factorando W = sen x (-sen x cos x + x) - cos x (1 + cos^2 x) + x sen x (-1) :
Sabemos que , então:
W = -sen^2 x cos x + x sen x - cos x - cos^3 x - x sen x

Resposta

O Wronskiano é . Como para valores de onde , as funções , e são linearmente independentes nesses intervalos.

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