Use o Wronskiano para determinar se o conjunto de funções abaixo são ou não linearmente independentes:
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente usar o Wronskiano para descobrir se as funções , e são linearmente independentes. Isso está no conteúdo de Equações Diferenciais e Linearidade de Funções. Para resolver, precisamos saber calcular derivadas e montar o Wronskiano dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para três funções , e , o Wronskiano é uma matriz cuja primeira linha é , , , a segunda linha são as primeiras derivadas dessas funções, e a terceira linha são as segundas derivadas. Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada: Usamos a regra do produto:
Segunda derivada: Derivando novamente, temos:
Passo 4
Agora, vamos montar o Wronskiano com essas derivadas:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para facilitar, vamos expandir o determinante:
Calculando cada menor:
Primeiro menor:
Simplificando:
(Lembrando que )
Segundo menor:
Simplificando:
Terceiro menor:
Passo 6
Substituindo os menores no determinante:
Simplificando:
Observamos que e se cancelam:
Factorando W = sen x (-sen x cos x + x) - cos x (1 + cos^2 x) + x sen x (-1) :
Sabemos que , então:
W = -sen^2 x cos x + x sen x - cos x - cos^3 x - x sen x
Resposta
O Wronskiano é . Como para valores de onde , as funções , e são linearmente independentes nesses intervalos.