Use o Wronskiano para determinar se o conjunto de funções abaixo são ou não linearmente independentes:
(a)
Passo 1
Beleza, temos um conjunto de funções: , e . O objetivo é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou não usando o Wronskiano. Vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e entender o que ele nos diz sobre a independência linear das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para três funções , e , o Wronskiano é uma matriz determinante formada pelas funções e suas primeiras e segundas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Se for zero para todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas derivadas:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Como as duas primeiras entradas da primeira coluna são zero, isso simplifica nosso cálculo. Apenas a primeira posição da primeira coluna contribui:
Calculando o determinante menor:
Portanto, W = 6 times 3 sen(2x) & -2 sen(2x) 6 cos(2x) & -4 cos(2x) .
Resposta
O Wronskiano é igual a zero, então as funções , e são linearmente dependentes.