Use o Wronskiano para determinar se o conjunto de funções abaixo são ou não linearmente independentes:
(a) 6,3 sen^2 x, 2 cos ^2 x

Passo 1

Beleza, temos um conjunto de funções: , e . O objetivo é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou não usando o Wronskiano. Vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e entender o que ele nos diz sobre a independência linear das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para três funções W = f1 & f2 & f3 f1' & f2' & f3' f1'' & f2'' & f3'' , e , o Wronskiano é uma matriz determinante formada pelas funções e suas primeiras e segundas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Se for zero para todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Como as duas primeiras entradas da primeira coluna são zero, isso simplifica nosso cálculo. Apenas a primeira posição da primeira coluna contribui:
Calculando o determinante menor:
Portanto, W = 6 times 3 sen(2x) & -2 sen(2x) 6 cos(2x) & -4 cos(2x) .

Resposta

O Wronskiano é igual a zero, então as funções , e são linearmente dependentes.

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