Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) O conjunto das matrizes
que contêm exatamente dois 1 e dois 0 é um conjunto linearmente independente em
(a) O conjunto das matrizes
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: estamos querendo saber se o conjunto de todas as matrizes
que contêm exatamente dois 1s e dois 0s é um conjunto linearmente independente no espaço
. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se aplica às matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o conceito de independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos expressar uma matriz do conjunto como combinação das outras.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas matrizes
existem que têm exatamente dois 1s e dois 0s. Como temos 4 posições em uma matriz
, e queremos escolher 2 posições para colocar os 1s, temos combinações possíveis dadas por:
Portanto, existem 6 matrizes diferentes nesse conjunto.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar o espaço vetorial
. Esse espaço tem dimensão 4, porque cada matriz
pode ser representada por 4 números (as entradas). Isso significa que qualquer conjunto de mais de 4 matrizes nesse espaço necessariamente será linearmente dependente.
Passo 5
Como nosso conjunto tem 6 matrizes, que é mais do que a dimensão do espaço
(que é 4), podemos concluir que essas 6 matrizes não podem ser todas linearmente independentes. Isso é uma consequência direta do conceito de dimensão em espaços vetoriais.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa, pois o conjunto das matrizes
com exatamente dois 1s e dois 0s é linearmente dependente em
.