Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(b)
é um conjunto linearmente dependente, entăo cada vetor é um múltiplo escalar do outro.
(b)
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que decidir se a afirmação “Se {v₁, v₂} é um conjunto linearmente dependente, então cada vetor é um múltiplo escalar do outro” é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de dois vetores, isso significa que um vetor é múltiplo do outro.
Passo 3
Então, se {v₁, v₂} é linearmente dependente, existe um número escalar c tal que v₂ = c * v₁ ou v₁ = c * v₂. Isso mostra que um vetor é um múltiplo escalar do outro.
Passo 4
Como essa relação sempre ocorre quando temos apenas dois vetores em um conjunto linearmente dependente, a afirmação é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira. Se {v₁, v₂} é linearmente dependente, então cada vetor é um múltiplo escalar do outro.