Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M22^circ
[rr 3 & 6 3 & -6 ], [rr 0 & -1 -1 & 0 ], [rr 0 & -8 -12 & -4 ], [rr 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que um conjunto de quatro matrizes 2x2 é uma base do espaço . Isso envolve entender o que é uma base: um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que são lineares e que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as matrizes são lineares independentes, ou seja, se nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4, já que temos 4 entradas em cada matriz. Portanto, para formar uma base, precisamos de 4 matrizes que sejam lineares independentes.

Passo 3

Vamos considerar uma combinação linear dessas quatro matrizes igual à matriz nula:
c1 3 & 6 3 & -6 + c2 0 & -1 -1 & 0 + c3 0 & -8 -12 & -4 + c4 1 & 0 -1 & 2 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes .

Passo 4

Vamos escrever as equações correspondentes a cada posição da matriz:
3c1 + 0c2 + 0c3 + 1c4 = 0 (posição 1,1) 6c1 - 1c2 - 8c3 + 0c4 = 0 (posição 1,2) 3c1 - 1c2 - 12c3 -1c4 = 0 (posição 2,1) -6c1 + 0c2 -4c3 + 2c4 = 0 (posição 2,2) çãçãçãçã

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & 0 & 0 & 1 & | & 0 6 & -1 & -8 & 0 & | & 0 3 & -1 & -12 & -1 & | & 0 -6 & 0 & -4 & 2 & | & 0
Vamos resolver esse sistema usando escalonamento.

Passo 6

Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o 3 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & -1 & -8 & -2 & | & 0 0 & -1 & -12 & -2 & | & 0 0 & 0 & -4 & 4 & | & 0 das outras linhas:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Isso resulta em:

Passo 7

Agora, podemos simplificar a segunda linha dividindo por -1:
3 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 8 & 2 & | & 0 0 & -1 & -12 & -2 & | & 0 0 & 0 & -4 & 4 & | & 0
Em seguida, somamos a segunda linha com a terceira para eliminar o 3 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 8 & 2 & | & 0 0 & 0 & -4 & 0 & | & 0 0 & 0 & -4 & 4 & | & 0 da terceira linha:

Passo 8

Agora, observamos que a terceira linha é , que implica .
Substituindo na quarta linha: .
Voltando para a segunda linha: .
Finalmente, na primeira linha: .

Resposta

Como a única solução é , as matrizes dadas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

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