Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que um conjunto de quatro matrizes 2x2 é uma base do espaço . Isso envolve entender o que é uma base: um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que são lineares e que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as matrizes são lineares independentes, ou seja, se nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4, já que temos 4 entradas em cada matriz. Portanto, para formar uma base, precisamos de 4 matrizes que sejam lineares independentes.
Passo 3
Vamos considerar uma combinação linear dessas quatro matrizes igual à matriz nula:
Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes .
Passo 4
Vamos escrever as equações correspondentes a cada posição da matriz:
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz aumentada do sistema: