Sejam A=(1,0),(0,2), B=(-1,0),(1,1) e C=(-1,-1),(0,-1) bases do R^2. Obtenha as matrizes de mudança de base MA^B, MB^C e MA^C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado nos dá três bases diferentes para o espaço vetorial : , e . O objetivo aqui é encontrar as matrizes que transformam coordenadas de uma base para outra, ou seja, as matrizes de mudança de base , e . Para fazer isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Por exemplo, vai converter as coordenadas de um vetor da base para a base .

Passo 3

Para encontrar (1,0) = a cdot (-1,0) + b cdot (1,1) , precisamos expressar cada vetor da base (0,2) = c cdot (-1,0) + d cdot (1,1) em termos dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes e tais que:
Resolvendo essas equações, vamos determinar os valores de , , e .

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
(1,0) = a cdot (-1,0) + b cdot (1,1) Rightarrow (-a + b, 0 + b) = (1,0)
Isso nos dá o sistema:
-a + b = 1
b = 0
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, temos então .

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda equação:
(0,2) = c cdot (-1,0) + d cdot (1,1) Rightarrow (-c + d, 0 + d) = (0,2)
Sistema:
-c + d = 0
d = 2
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos construir a matriz MA^B = a & c b & d = -1 & 2 0 & 2 :

Passo 7

Seguimos o mesmo processo para encontrar (-1,0) = e cdot (-1,-1) + f cdot (0,-1) . Vamos expressar os vetores da base (1,1) = g cdot (-1,-1) + h cdot (0,-1) em termos da base :
Resolvendo para , , e .

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
(-1,0) = e cdot (-1,-1) + f cdot (0,-1) Rightarrow (-e + 0f, -e - f) = (-1,0)
Sistema:
-e = -1 Rightarrow e = 1
-e - f = 0 Rightarrow -1 - f = 0 Rightarrow f = -1

Passo 9

Resolvendo a segunda equação:
(1,1) = g cdot (-1,-1) + h cdot (0,-1) Rightarrow (-g + 0h, -g - h) = (1,1)
Sistema:
-g = 1 Rightarrow g = -1
-g - h = 1 Rightarrow 1 - h = 1 Rightarrow h = 0

Passo 10

Com os coeficientes encontrados, a matriz MB^C = e & g f & h = 1 & -1 -1 & 0 fica:

Passo 11

Por último, para encontrar MA^C = MA^B cdot MB^C = -1 & 2 0 & 2 cdot 1 & -1 -1 & 0 , podemos multiplicar as matrizes e :
Vamos fazer a multiplicação das matrizes.

Passo 12

Multiplicando as matrizes:
MA^C = (-1)(1) + (2)(-1) & (-1)(-1) + (2)(0) (0)(1) + (2)(-1) & (0)(-1) + (2)(0) = -1 - 2 & 1 + 0 0 - 2 & 0 + 0 = -3 & 1 -2 & 0

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
MA^B = -1 & 2 0 & 2 , MB^C = 1 & -1 -1 & 0 , MA^C = -3 & 1 -2 & 0

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