Sejam
e
bases do
. Obtenha as matrizes de mudança de base
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado nos dá três bases diferentes para o espaço vetorial
:
,
e
. O objetivo aqui é encontrar as matrizes que transformam coordenadas de uma base para outra, ou seja, as matrizes de mudança de base
,
e
. Para fazer isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Por exemplo,
vai converter as coordenadas de um vetor da base
para a base
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Resolvendo essas equações, vamos determinar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira, temos
então
.
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda equação:
Sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
então
.
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos construir a matriz
:
Passo 7
Seguimos o mesmo processo para encontrar
. Vamos expressar os vetores da base
em termos da base
:
Resolvendo para
,
,
e
.
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Sistema:
Passo 9
Resolvendo a segunda equação:
Sistema:
Passo 10
Com os coeficientes encontrados, a matriz
fica:
Passo 11
Por último, para encontrar
, podemos multiplicar as matrizes
e
:
Vamos fazer a multiplicação das matrizes.
Passo 12
Multiplicando as matrizes:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: