Mostre que o conjunto R^3 munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto R^3, que representa todos os vetores de três dimensões reais, com as operações padrão de adição de vetores e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias estão satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de poderem ser somados e multiplicados por escalares (números reais, no nosso caso), satisfaz uma série de propriedades chamadas axiomas. Existem 8 axiomas que precisamos verificar.

Passo 3

Vamos listar os 8 axiomas de um espaço vetorial e verificar se R^3 os cumpre:
  1. Fechamento sob a adição: A soma de dois vetores em R^3 também está em R^3.
  2. Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado, ou seja, u + v = v + u.
  3. Associatividade da adição: A forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado, isto é, (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero 0 tal que v + 0 = v para todo vetor v em R^3.
  5. Elemento inverso da adição: Para cada vetor v, existe um vetor -v tal que v + (-v) = 0.
  6. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em R^3.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)v = av + bv.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: a(bv) = (ab)v.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1v = v.

Passo 4

Vamos verificar cada axioma um por um:
  1. Fechamento sob a adição:
    Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) são vetores em R^3, então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) também está em R^3 porque a soma de números reais é um número real.
  2. Comutatividade da adição:
    u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = v + u.
  3. Associatividade da adição:
    (u + v) + w = ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, (u3 + v3) + w3)
    = (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 + w3)) = u + (v + w).
  4. Elemento neutro da adição:
    O vetor 0 = (0, 0, 0) satisfaz v + 0 = (v1 + 0, v2 + 0, v3 + 0) = v.
  5. Elemento inverso da adição:
    Para cada v = (v1, v2, v3), o vetor -v = (-v1, -v2, -v3) satisfaz v + (-v) = (v1 - v1, v2 - v2, v3 - v3) = 0.
  6. Fechamento sob a multiplicação por escalar:
    Se a é um escalar em R e v = (v1, v2, v3), então av = (a v1, a v2, a v3) também está em R^3.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    a(u + v) = a(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (a(u1 + v1), a(u2 + v2), a(u3 + v3))
    = (a u1 + a v1, a u2 + a v2, a u3 + a v3) = au + av.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    (a + b)v = ((a + b)v1, (a + b)v2, (a + b)v3)
    = (a v1 + b v1, a v2 + b v2, a v3 + b v3) = av + bv.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar:
    a(bv) = a(b v1, b v2, b v3) = (a(b v1), a(b v2), a(b v3)) = ((ab) v1, (ab) v2, (ab) v3)
    = (ab)v = (ab)v.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    1v = (1 cdot v1, 1 cdot v2, 1 cdot v3) = (v1, v2, v3) = v.

Resposta

Como todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que o conjunto R^3, com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar, é realmente um espaço vetorial.

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