Mostre que o conjunto
munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar é um espaço vetorial.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto
, que representa todos os vetores de três dimensões reais, com as operações padrão de adição de vetores e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias estão satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de poderem ser somados e multiplicados por escalares (números reais, no nosso caso), satisfaz uma série de propriedades chamadas axiomas. Existem 8 axiomas que precisamos verificar.
Passo 3
Vamos listar os 8 axiomas de um espaço vetorial e verificar se
os cumpre:
- Fechamento sob a adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado, ou seja,
. - Associatividade da adição: A forma como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado, isto é,
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que para todo vetor em . - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . - Fechamento sob a multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Passo 4
Vamos verificar cada axioma um por um:
-
Fechamento sob a adição:
See são vetores em , então também está em porque a soma de números reais é um número real. -
Comutatividade da adição:
. -
Associatividade da adição:
. -
Elemento neutro da adição:
O vetorsatisfaz . -
Elemento inverso da adição:
Para cada, o vetor satisfaz . -
Fechamento sob a multiplicação por escalar:
Seé um escalar em e , então também está em . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. -
Associatividade da multiplicação por escalar:
. -
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Resposta
Como todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que o conjunto
, com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar, é realmente um espaço vetorial.