Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se f, g: R R são funções tais que lim x +infty f(x)g(x)=+infty, então lim x +infty(f(x)-g(x))=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa afirmação juntos! O enunciado fala sobre funções reais e que vão de para . A gente quer saber se, quando o limite de tende a quando vai para , então o limite de também tende a . Para resolver isso, vamos precisar entender limites e comportamento de funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que conforme cresce, cresce muito mais rápido que . Em outras palavras, é “muito maior” que para valores grandes de .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece com . Se é bem maior que , então a subtração de de ainda deve resultar em algo grande, certo? Parece que o limite de também deveria ser .

Passo 4

Mas vamos testar isso com um exemplo para ter certeza. Suponha que f(x)g(x) = x^2x = x +infty quando x +infty e . Então:
Agora, . O limite de quando vai para também é .

Passo 5

Esse exemplo sugere que a afirmação pode ser verdadeira. No entanto, vamos pensar se existe algum caso onde tende a , mas não tende a .

Passo 6

Vamos tentar com f(x)g(x) = x^2x^2 - x = 11 - 1x 1 quando x +infty e . Então:
Nesse caso, não estamos obtendo no limite. Precisamos de outro exemplo.

Passo 7

Vamos tentar f(x)g(x) = x^3x^2 = x +infty e . Então:
E . O limite de também é .

Passo 8

Parece que em todos os exemplos que tentamos, se tende a , então também tende a . Não conseguimos encontrar um contra-exemplo.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se , então .

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