Determine sen alpha e cos(alpha) sabendo que tg alpha = 5 e que 0 < alpha < pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o seno ( ) e o cosseno ( cos(alpha)) de um ângulo alpha, sabendo que a tangente desse ângulo é 5, ou seja, . Além disso, sabemos que alpha está no primeiro quadrante ( ), o que significa que tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Para resolver isso, vamos usar as relações trigonométricas básicas que conectam seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Dado que , podemos escrever:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental que relaciona seno e cosseno:
Como já sabemos que , podemos substituir na identidade:

Passo 4

Vamos resolver para cos(alpha):
Como alpha está no primeiro quadrante, cos(alpha) é positivo.

Passo 5

Agora que temos cos(alpha), podemos encontrar usando :

Resposta

Portanto, as soluções são:
e

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