Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique.
© f(x) = { (x^2 + x - 2) / (x - 1)^2, se x ≠ 1 ; 0, se x = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é contínua. A função dada é uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de função, limites e verificar o comportamento em pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Aqui, a função tem duas partes: uma para e outra para . Precisamos ver onde essa função é contínua, ou seja, onde não tem “saltos” ou “buracos”.

Passo 3

Vamos começar observando o denominador na primeira parte da função: . Se o denominador for zero, a função não está definida nesse ponto. Então, para , o denominador nunca é zero, já que estamos evitando . Portanto, a função é contínua em todos os pontos onde .

Passo 4

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e comparar com o valor da função em .
Primeiro, simplificamos a expressão para :
Então, o limite quando se aproxima de 1 é:
Como estamos dividindo por zero, o limite não existe (vai para infinito). Já que o limite não existe, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio exceto em . Ou seja, é contínua para todo tal que .

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