Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua. Justifique.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é contínua. A função dada é uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de função, limites e verificar o comportamento em pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Aqui, a função tem duas partes: uma para e outra para . Precisamos ver onde essa função é contínua, ou seja, onde não tem “saltos” ou “buracos”.

Passo 3

Vamos começar observando o denominador na primeira parte da função: . Se o denominador for zero, a função não está definida nesse ponto. Então, para , o denominador nunca é zero, já que estamos evitando . Portanto, a função é contínua em todos os pontos onde .

Passo 4

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e comparar com o valor da função em .
Primeiro, simplificamos a expressão para :
Então, o limite quando se aproxima de 1 é:
Como estamos dividindo por zero, o limite não existe (vai para infinito). Já que o limite não existe, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio exceto em . Ou seja, é contínua para todo tal que .

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função .
Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se são funções tais que , então .
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
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Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(g)
(obs: , para todo )