Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função
é contínua. Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função
é contínua. A função dada é uma função que muda de expressão dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de função, limites e verificar o comportamento em pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Aqui, a função tem duas partes: uma para
e outra para
. Precisamos ver onde essa função é contínua, ou seja, onde não tem “saltos” ou “buracos”.
Passo 3
Vamos começar observando o denominador na primeira parte da função:
. Se o denominador for zero, a função não está definida nesse ponto. Então, para
, o denominador nunca é zero, já que estamos evitando
. Portanto, a função é contínua em todos os pontos onde
.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 e comparar com o valor da função em
.
Primeiro, simplificamos a expressão para
:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 é:
Como estamos dividindo por zero, o limite não existe (vai para infinito). Já que o limite não existe, a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio exceto em
. Ou seja,
é contínua para todo
tal que
.