Determine o domínio da função
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre funções racionais e as propriedades da função seno.
Passo 2
Sabemos que uma função é racional quando é o quociente de dois polinômios. No caso, o numerador é e o denominador é . Um ponto crucial é que o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não é definida. Portanto, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade:
Isso significa que a função estará indefinida para os valores de
que fazem .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
onde . Sabemos que a função seno atinge o valor
em:
Portanto, esses valores devem ser excluídos do domínio.
Passo 5
Além disso, a função seno está definida para todos os números reais, então não há outras restrições além das que encontramos. Assim, o domínio é todos os reais menos os valores que tornam o denominador zero.
Resposta
O domínio da função é:
Isso significa que qualquer número real está no domínio, exceto aqueles da forma
, onde
é um número inteiro.