Determine o domínio da função .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre funções racionais e as propriedades da função seno.

Passo 2

Sabemos que uma função é racional quando é o quociente de dois polinômios. No caso, o numerador é e o denominador é . Um ponto crucial é que o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não é definida. Portanto, precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
Isso significa que a função estará indefinida para os valores de que fazem .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de onde . Sabemos que a função seno atinge o valor em:
é
Portanto, esses valores devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Além disso, a função seno está definida para todos os números reais, então não há outras restrições além das que encontramos. Assim, o domínio é todos os reais menos os valores que tornam o denominador zero.

Resposta

O domínio da função é:
Isso significa que qualquer número real está no domínio, exceto aqueles da forma , onde é um número inteiro.

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Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se são funções tais que , então .
Uma população de animais oscila de forma senoidal entre um mínimo de 700 em primeiro de janeiro e um máximo de 900 em primeiro de julho.
(a) Esboce o gráfico da população pelo tempo.
(b) Determine uma fórmula da população como função do tempo em meses desde o início do ano.
Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua. Justifique.
©
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
©