Uma população de animais oscila de forma senoidal entre um mínimo de 700 em primeiro de janeiro e um máximo de 900 em primeiro de julho.
(a) Esboce o gráfico da população pelo tempo.
(b) Determine uma fórmula da população como função do tempo
em meses desde o início do ano.
(a) Esboce o gráfico da população pelo tempo.
(b) Determine uma fórmula da população como função do tempo
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede: temos uma população de animais que varia de forma senoidal, com um mínimo de 700 em janeiro e um máximo de 900 em julho. Vamos usar trigonometria, especificamente funções senoidais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando da fórmula geral de uma função senoidal:
Onde:
-
é a amplitude, -
está relacionado ao período, -
é o deslocamento horizontal (fase), -
é o deslocamento vertical (média da função).
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Mínimo (Pmin) = 700
- Máximo (Pmax) = 900
A amplitude
é metade da diferença entre máximo e mínimo:
Passo 4
A média
é a média entre máximo e mínimo:
Passo 5
Determinar o período da função. Sabemos que a população alcança o máximo em julho (mês 6) e o mínimo em janeiro (mês 0). Isso significa que meio período leva 6 meses, então o período completo é 12 meses.
O valor de
é calculado por:
Passo 6
Agora, vamos determinar o deslocamento horizontal
. Sabemos que a função atinge o mínimo em janeiro (t=0). A função seno padrão atinge o mínimo em
, então precisamos ajustar a fase:
Passo 7
Para simplificar, podemos usar a função cosseno, que é um seno com fase deslocada:
Resposta
A fórmula da população em função do tempo
(meses desde o início do ano) é:
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Determine sen
e
sabendo que
e que
.
Seja
.
(b) Assumindo que , calcule
.
(b) Assumindo que
Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se são funções tais que
, então
.
© Se
Determine o domínio da função
.