Uma população de animais oscila de forma senoidal entre um mínimo de 700 em primeiro de janeiro e um máximo de 900 em primeiro de julho.
(a) Esboce o gráfico da população pelo tempo.
(b) Determine uma fórmula da população como função do tempo em meses desde o início do ano.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede: temos uma população de animais que varia de forma senoidal, com um mínimo de 700 em janeiro e um máximo de 900 em julho. Vamos usar trigonometria, especificamente funções senoidais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando da fórmula geral de uma função senoidal:
Onde:
  • é a amplitude,
  • está relacionado ao período,
  • é o deslocamento horizontal (fase),
  • é o deslocamento vertical (média da função).

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Mínimo (Pmin) = 700
  • Máximo (Pmax) = 900
A amplitude é metade da diferença entre máximo e mínimo:

Passo 4

A média é a média entre máximo e mínimo:

Passo 5

Determinar o período da função. Sabemos que a população alcança o máximo em julho (mês 6) e o mínimo em janeiro (mês 0). Isso significa que meio período leva 6 meses, então o período completo é 12 meses.
í
O valor de é calculado por:
í

Passo 6

Agora, vamos determinar o deslocamento horizontal . Sabemos que a função atinge o mínimo em janeiro (t=0). A função seno padrão atinge o mínimo em , então precisamos ajustar a fase:

Passo 7

Para simplificar, podemos usar a função cosseno, que é um seno com fase deslocada:

Resposta

A fórmula da população em função do tempo (meses desde o início do ano) é:

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Determine sen e sabendo que e que .
Seja .
(b) Assumindo que , calcule .
Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se são funções tais que , então .
Determine o domínio da função .