Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(f) é contínua em .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se os limites laterais de quando se aproxima de pela direita e pela esquerda são iguais, então é contínua em ". Aqui, estamos trabalhando com limites e continuidade de funções, conceitos fundamentais em Cálculo. Para resolver isso, vamos entender o que é necessário para uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em . Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

A afirmação dada nos diz que os limites laterais são iguais:
Quando os limites laterais são iguais, isso garante que o limite geral existe. Portanto, a segunda condição para continuidade está satisfeita.

Passo 4

No entanto, para que seja contínua em , também é necessário que esteja definida e que seja igual a esse limite comum:
A afirmação original não menciona nada sobre o valor de . É possível que não esteja definida ou que seja diferente do limite.

Passo 5

Vamos considerar um contraexemplo para ilustrar isso. Imagine a função:
Aqui, temos:
Os limites laterais são iguais, então . No entanto, , que é diferente do limite. Portanto, não é contínua em , mesmo com os limites laterais iguais.

Resposta

A afirmação é falsa. Ter limites laterais iguais não garante que a função seja contínua no ponto, pois é necessário que o valor da função no ponto também coincida com esse limite.

Exercícios relacionados

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
Determine os valores de e tais que .
Seja . Encontre um número real tal que se , então .
Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;