Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(f) lim x a^+ f(x)=lim x a^- f(x) Longrightarrow f é contínua em a.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se os limites laterais de quando se aproxima de pela direita e pela esquerda são iguais, então é contínua em ". Aqui, estamos trabalhando com limites e continuidade de funções, conceitos fundamentais em Cálculo. Para resolver isso, vamos entender o que é necessário para uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em . Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

A afirmação dada nos diz que os limites laterais são iguais:
limx to a^+ f(x) = limx to a^- f(x)
Quando os limites laterais são iguais, isso garante que o limite geral existe. Portanto, a segunda condição para continuidade está satisfeita.

Passo 4

No entanto, para que limx to a f(x) = f(a) seja contínua em , também é necessário que esteja definida e que seja igual a esse limite comum:
A afirmação original não menciona nada sobre o valor de . É possível que não esteja definida ou que seja diferente do limite.

Passo 5

Vamos considerar um contraexemplo para ilustrar isso. Imagine a função:
f(x) = sin(x) & se x neq 0 1 & se x = 0
Aqui, temos:
limx to 0^+ f(x) = 0 e limx to 0^- f(x) = 0
Os limites laterais são iguais, então . No entanto, , que é diferente do limite. Portanto, não é contínua em , mesmo com os limites laterais iguais.

Resposta

A afirmação é falsa. Ter limites laterais iguais não garante que a função seja contínua no ponto, pois é necessário que o valor da função no ponto também coincida com esse limite.

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