Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(f)
é contínua em
.
(f)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se os limites laterais de
quando
se aproxima de
pela direita e pela esquerda são iguais, então
é contínua em
". Aqui, estamos trabalhando com limites e continuidade de funções, conceitos fundamentais em Cálculo. Para resolver isso, vamos entender o que é necessário para uma função ser contínua em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função
ser contínua em
. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
A afirmação dada nos diz que os limites laterais são iguais:
Quando os limites laterais são iguais, isso garante que o limite geral
existe. Portanto, a segunda condição para continuidade está satisfeita.
Passo 4
No entanto, para que
seja contínua em
, também é necessário que
esteja definida e que seja igual a esse limite comum:
A afirmação original não menciona nada sobre o valor de
. É possível que
não esteja definida ou que seja diferente do limite.
Passo 5
Vamos considerar um contraexemplo para ilustrar isso. Imagine a função:
Aqui, temos:
Os limites laterais são iguais, então
. No entanto,
, que é diferente do limite. Portanto,
não é contínua em
, mesmo com os limites laterais iguais.
Resposta
A afirmação é falsa. Ter limites laterais iguais não garante que a função seja contínua no ponto, pois é necessário que o valor da função no ponto também coincida com esse limite.
Exercícios relacionados
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(b) Se não existe limite de em
, então
não admite limites laterais em
;
(b) Se não existe limite de
Determine os valores de
e
tais que
.
Seja
. Encontre um número real
tal que se
, então
.
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(a) Calcule o valor de