Seja f: R longrightarrow R uma função satisfazendo lim x 0 f(x)x=1.
(a) Calcule o valor de lim x 0 f(x);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que satisfaz . A pergunta é para calcular . O conteúdo aqui envolve limites de funções e como manipular essas expressões para encontrar o que queremos. Vamos precisar usar propriedades de limites e entender o que a relação nos diz sobre .

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa . Isso quer dizer que, quando se aproxima de 0, a razão entre e se aproxima de 1. Em outras palavras, está se comportando de maneira semelhante a perto de 0.

Passo 3

Sabemos que se e , então , desde que seja diferente de zero. No nosso caso, e .

Passo 4

Calculando , sabemos que esse limite é simplesmente 0, porque conforme se aproxima de 0, ele tende a zero.

Passo 5

Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3, temos:
limx 0 f(x) = limx 0 f(x)x cdot limx 0 x = 1 cdot 0 = 0
Portanto, o limite de quando se aproxima de 0 é 0.

Resposta

limx 0 f(x) = 0

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