Seja
. Encontre um número real
tal que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número real
tal que, se a distância entre
e
for menor que
(mas maior que 0), então a distância entre
e
seja menor que
. Estamos trabalhando com funções polinomiais e analisando o comportamento de
perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que queremos que
esteja dentro do intervalo entre
e
, ou seja:
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir na desigualdade:
Passo 4
Vamos resolver essas duas desigualdades separadamente. Primeiro:
E a segunda desigualdade:
Passo 5
Então, combinando as duas, queremos que
satisfaça:
Passo 6
Agora, sabemos que queremos que
esteja a uma distância menor que
de
. Vamos encontrar o intervalo de
que satisfaz isso:
Passo 7
Para que os dois intervalos coincidam, precisamos que:
e
Passo 8
Vamos resolver para
em cada desigualdade. Primeiro:
E segundo:
Passo 9
Agora, escolhemos o menor valor entre
e
para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas. Calculando aproximadamente:
Então:
Resposta
Então, escolhemos
para garantir que
sempre que
.