Seja . Encontre um número real tal que se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número real tal que, se a distância entre e for menor que (mas maior que 0), então a distância entre e seja menor que . Estamos trabalhando com funções polinomiais e analisando o comportamento de perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que queremos que esteja dentro do intervalo entre e , ou seja:

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir na desigualdade:

Passo 4

Vamos resolver essas duas desigualdades separadamente. Primeiro:
E a segunda desigualdade:

Passo 5

Então, combinando as duas, queremos que satisfaça:

Passo 6

Agora, sabemos que queremos que esteja a uma distância menor que de . Vamos encontrar o intervalo de que satisfaz isso:

Passo 7

Para que os dois intervalos coincidam, precisamos que:
e

Passo 8

Vamos resolver para em cada desigualdade. Primeiro:
E segundo:

Passo 9

Agora, escolhemos o menor valor entre e para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas. Calculando aproximadamente:
Então:

Resposta

Então, escolhemos para garantir que sempre que .

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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(f) é contínua em .
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;