Seja
. Encontre um número real
tal que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número real
tal que, se a distância entre
e
for menor que
(mas maior que 0), então a distância entre
e
seja menor que
. Estamos trabalhando com funções polinomiais e analisando o comportamento de
perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que queremos que
esteja dentro do intervalo entre
e
, ou seja:
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir na desigualdade:
Passo 4
Vamos resolver essas duas desigualdades separadamente. Primeiro:
E a segunda desigualdade:
Passo 5
Então, combinando as duas, queremos que
satisfaça:
Passo 6
Agora, sabemos que queremos que
esteja a uma distância menor que
de
. Vamos encontrar o intervalo de
que satisfaz isso:
Passo 7
Para que os dois intervalos coincidam, precisamos que:
e
Passo 8
Vamos resolver para
em cada desigualdade. Primeiro:
E segundo:
Passo 9
Agora, escolhemos o menor valor entre
e
para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas. Calculando aproximadamente:
Então:
Resposta
Então, escolhemos
para garantir que
sempre que
.
Exercícios relacionados
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(f) é contínua em
.
(f)
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(b) Se não existe limite de em
, então
não admite limites laterais em
;
(b) Se não existe limite de
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(a) Calcule o valor de
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(a) Se o limite de