Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de
em
existe, então
está definida em
;
(a) Se o limite de
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão! A gente precisa decidir se a afirmação "Se o limite de
em
existe, então
está definida em
" é verdadeira ou falsa. A matéria envolve limites de funções e definição de função em pontos específicos. Vamos precisar entender o que significa o limite existir e o que é estar definido em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de
em
existe. Dizemos que
significa que conforme
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
Por outro lado, dizer que
está definida em
significa que existe um valor específico para
. Agora, a afirmação está dizendo que se o limite existe, então necessariamente
existe. Vamos ver se isso é sempre verdadeiro.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos pensar em um exemplo. Imagine a função:
Essa função está definida para todo
exceto
, porque no denominador ficaria zero, e divisão por zero não é permitida.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Portanto, o limite existe e é igual a 2.
Passo 5
No entanto,
não está definido, porque teríamos divisão por zero:
Passo 6
Então, temos um caso onde o limite de
em
existe, mas
não está definida em
. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa.
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Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(a) Calcule o valor de
Seja
. Encontre um número real
tal que se
, então
.
Supondo que
, calcule o valor de
.
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .
(a) Calcule o valor de
(b) O cálculo
© Mostre que