Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! A gente precisa decidir se a afirmação "Se o limite de em existe, então está definida em " é verdadeira ou falsa. A matéria envolve limites de funções e definição de função em pontos específicos. Vamos precisar entender o que significa o limite existir e o que é estar definido em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de em existe. Dizemos que significa que conforme se aproxima de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .
Por outro lado, dizer que está definida em significa que existe um valor específico para . Agora, a afirmação está dizendo que se o limite existe, então necessariamente existe. Vamos ver se isso é sempre verdadeiro.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos pensar em um exemplo. Imagine a função:
Essa função está definida para todo exceto , porque no denominador ficaria zero, e divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Portanto, o limite existe e é igual a 2.

Passo 5

No entanto, não está definido, porque teríamos divisão por zero:

Passo 6

Então, temos um caso onde o limite de em existe, mas não está definida em . Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa.

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Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
Seja . Encontre um número real tal que se , então .
Supondo que , calcule o valor de .
Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
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