Supondo que , calcule o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo a função quando se aproxima de . O conteúdo aqui é de cálculo de limites, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites e aplicar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que foi dado:
Esse limite é, na verdade, a definição da derivada de em , ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos calcular o seguinte limite:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável . Assim, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever em termos de :
Agora, substituímos isso na expressão do limite:

Passo 5

Observamos que:
Isso porque, conforme dado inicialmente, esse é exatamente o limite que define .

Passo 6

Então, voltando à nossa expressão:

Resposta

O valor de é .

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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
© Se é contínua, então é contínua;
(d) é contínua, então é contínua;
(e) Se o limite de em não existe, então não é contínua em ;
(f) é contínua em .