Supondo que
, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo a função
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é de cálculo de limites, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites e aplicar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que foi dado:
Esse limite é, na verdade, a definição da derivada de
em
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos calcular o seguinte limite:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável
. Assim, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 4
Com essa substituição, podemos reescrever
em termos de
:
Agora, substituímos isso na expressão do limite:
Passo 5
Observamos que:
Isso porque, conforme dado inicialmente, esse é exatamente o limite que define
.
Passo 6
Então, voltando à nossa expressão:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(a) Se o limite de
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(a) Calcule o valor de
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .
(a) Calcule o valor de
(b) O cálculo
© Mostre que
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(b) Se não existe limite de em
, então
não admite limites laterais em
;
© Se é contínua, então
é contínua;
(d) é contínua, então
é contínua;
(e) Se o limite de em
não existe, então
não é contínua em
;
(f) é contínua em
.
(a) Se o limite de
(b) Se não existe limite de
© Se
(d)
(e) Se o limite de
(f)