Supondo que lim x p f(x)-f(p)x-p=L in R, calcule o valor de lim h 0 f(p+7 h)-f(p)h.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo a função quando se aproxima de . O conteúdo aqui é de cálculo de limites, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites e aplicar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que foi dado:
limx p f(x) - f(p)x - p = L
Esse limite é, na verdade, a definição da derivada de em , ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos calcular o seguinte limite:
limh 0 f(p + 7h) - f(p)h
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável . Assim, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever h = k7 em termos de limk 0 f(p + k) - f(p)k7 = limk 0 f(p + k) - f(p)k times 7 :
Agora, substituímos isso na expressão do limite:

Passo 5

Observamos que:
limk 0 f(p + k) - f(p)k = L
Isso porque, conforme dado inicialmente, esse é exatamente o limite que define .

Passo 6

Então, voltando à nossa expressão:
limk 0 f(p + k) - f(p)k times 7 = L times 7 = 7L

Resposta

O valor de é .

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