Supondo que
, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo a função
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é de cálculo de limites, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular limites e aplicar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que foi dado:
Esse limite é, na verdade, a definição da derivada de
em
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos calcular o seguinte limite:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável
. Assim, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 4
Com essa substituição, podemos reescrever
em termos de
:
Agora, substituímos isso na expressão do limite:
Passo 5
Observamos que:
Isso porque, conforme dado inicialmente, esse é exatamente o limite que define
.
Passo 6
Então, voltando à nossa expressão:
Resposta
O valor de
é
.