Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz . A matéria que estamos lidando aqui é de limites, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver os exercícios, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando estamos lidando com funções que se aproximam de zero.

Passo 2

Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando está muito perto de zero, a razão entre e está próxima de 1. Podemos reescrever essa relação para achar :
Agora, sabendo que , podemos determinar o limite de quando se aproxima de zero:

Passo 3

Parte (b): Verificar se está correto
Vamos analisar o cálculo apresentado:
Primeiro, usamos substituição para transformar em , assumindo que isso é válido. Em seguida, aplicamos a propriedade dos limites que permite separar a constante fora do limite. Finalmente, usamos o dado .
Portanto, o cálculo está correto porque utilizamos propriedades válidas dos limites e o dado fornecido.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que
Vamos fazer isso passo a passo. Sabemos que . Agora, queremos encontrar .
Primeiro, fazemos uma substituição: deixamos . Quando , também .
Reescrevendo o limite em termos de :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

(a)
(b) Sim, o cálculo está correto porque aplicamos as propriedades dos limites corretamente.
©

Exercícios relacionados

Supondo que , calcule o valor de .
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
© Se é contínua, então é contínua;
(d) é contínua, então é contínua;
(e) Se o limite de em não existe, então não é contínua em ;
(f) é contínua em .
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
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