Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de
;
(b) O cálculo
está correto? Justifique!
© Mostre que
.
(a) Calcule o valor de
(b) O cálculo
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que satisfaz
. A matéria que estamos lidando aqui é de limites, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver os exercícios, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando estamos lidando com funções que se aproximam de zero.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando
está muito perto de zero, a razão entre
e
está próxima de 1. Podemos reescrever essa relação para achar
:
Agora, sabendo que
, podemos determinar o limite de
quando
se aproxima de zero:
Passo 3
Parte (b): Verificar se
está correto
Vamos analisar o cálculo apresentado:
Primeiro, usamos substituição para transformar
em
, assumindo que isso é válido. Em seguida, aplicamos a propriedade dos limites que permite separar a constante
fora do limite. Finalmente, usamos o dado
.
Portanto, o cálculo está correto porque utilizamos propriedades válidas dos limites e o dado fornecido.
Passo 4
Parte ©: Mostrar que
Vamos fazer isso passo a passo. Sabemos que
. Agora, queremos encontrar
.
Primeiro, fazemos uma substituição: deixamos
. Quando
, também
.
Reescrevendo o limite em termos de
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
.
Resposta
(a)
(b) Sim, o cálculo está correto porque aplicamos as propriedades dos limites corretamente.
©
Exercícios relacionados
Supondo que
, calcule o valor de
.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(a) Se o limite de
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(b) Se não existe limite de em
, então
não admite limites laterais em
;
© Se é contínua, então
é contínua;
(d) é contínua, então
é contínua;
(e) Se o limite de em
não existe, então
não é contínua em
;
(f) é contínua em
.
(a) Se o limite de
(b) Se não existe limite de
© Se
(d)
(e) Se o limite de
(f)
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
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