Seja f: R longrightarrow R uma função satisfazendo lim x 0 f(x)x=1.
(a) Calcule o valor de lim x 0 f(x);
(b) O cálculo lim x 0 f(3 x)x=lim x 0 3 cdot f(x)x=3 cdot lim x 0 f(x)x=3 cdot 1=3 está correto? Justifique!
© Mostre que lim x 0 f(3 x)x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz . A matéria que estamos lidando aqui é de limites, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver os exercícios, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando estamos lidando com funções que se aproximam de zero.

Passo 2

Parte (a): Calcular f(x)x approx 1 Rightarrow f(x) approx x
Primeiro, vamos entender o que significa limx to 0 f(x) = limx to 0 x = 0 . Isso quer dizer que, quando está muito perto de zero, a razão entre e está próxima de 1. Podemos reescrever essa relação para achar :
Agora, sabendo que , podemos determinar o limite de quando se aproxima de zero:

Passo 3

Parte (b): Verificar se limx to 0 f(3x)x = limx to 0 3 cdot f(x)x = 3 cdot limx to 0 f(x)x = 3 cdot 1 = 3 está correto
Vamos analisar o cálculo apresentado:
Primeiro, usamos substituição para transformar em , assumindo que isso é válido. Em seguida, aplicamos a propriedade dos limites que permite separar a constante fora do limite. Finalmente, usamos o dado .
Portanto, o cálculo está correto porque utilizamos propriedades válidas dos limites e o dado fornecido.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que limx to 0 f(3x)x = limu to 0 f(u)u/3 = 3 cdot limu to 0 f(u)u
Vamos fazer isso passo a passo. Sabemos que 3 cdot 1 = 3 . Agora, queremos encontrar .
Primeiro, fazemos uma substituição: deixamos . Quando , também .
Reescrevendo o limite em termos de :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

(a)
(b) Sim, o cálculo está correto porque aplicamos as propriedades dos limites corretamente.
©

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