Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
© Se é contínua, então é contínua;
(d) é contínua, então é contínua;
(e) Se o limite de em não existe, então não é contínua em ;
(f) é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lista de afirmações sobre limites e continuidade de funções. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação uma por uma, verificando se são verdadeiras ou falsas e justificando com base na teoria.

Passo 2

(a) Se o limite de em existe, então está definida em ;
Vamos pensar nisso: para o limite de em existir, significa que conforme se aproxima de , se aproxima de algum valor específico. Mas será que isso garante que está definida exatamente em ?
Na verdade, não. Podemos ter situações onde o limite existe, mas não está definida naquele ponto. Por exemplo, considere para . O limite quando tende a 0 é 1, mas não está definida.
Resposta: Falsa.

Passo 3

(b) Se não existe limite de em , então não admite limites laterais em ;
Aqui, estamos afirmando que se o limite geral n��o existe, então os limites laterais também não existem. Mas será que é assim?
Na verdade, podemos ter que os limites laterais existem individualmente, mas são diferentes, fazendo o limite geral não existir. Por exemplo, considere . Os limites laterais são 1 pela esquerda e -1 pela direita, mas o limite geral não existe.
Resposta: Falsa.

Passo 4

© Se é contínua, então é contínua;
Vamos ver: se é contínua em um ponto, então operações como valor absoluto geralmente preservam a continuidade. O valor absoluto é uma função contínua, então a composição de duas funções contínuas continua sendo contínua.
Resposta: Verdadeira.

Passo 5

(d) Se é contínua, então é contínua;
Agora, a gente está dizendo que se o valor absoluto de é contínuo, então também deve ser contínuo. Mas isso nem sempre é verdade. Podemos ter que não é contínua, mas seu valor absoluto é.
Por exemplo, considere . Aqui, para todo , que é uma função contínua, mas não é contínua em .
Resposta: Falsa.

Passo 6

(e) Se o limite de em não existe, então não é contínua em ;
Vamos pensar: para ser contínua em , é necessário que o limite exista e que seja igual a . Se o limite não existe, já não tem como a função ser contínua nesse ponto.
Resposta: Verdadeira.

Passo 7

(f) é contínua em .
Aqui, a afirmação diz que se os limites laterais são iguais, então é contínua em . Mas isso não necessariamente garante a continuidade. Para ser contínua em , além dos limites laterais iguais, é preciso que exista e seja igual a esse limite.
Por exemplo, considere . Os limites laterais quando tende a 0 são 0, mas , então não é contínua em 0.
Resposta: Falsa.

Resposta

(a) Falsa; (b) Falsa; © Verdadeira; (d) Falsa; (e) Verdadeira; (f) Falsa.

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Seja uma função satisfazendo .
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .
Supondo que , calcule o valor de .
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
0
A função satisfaz a equação: . Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de .