Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de
em
existe, então
está definida em
;
(b) Se não existe limite de
em
, então
não admite limites laterais em
;
© Se
é contínua, então
é contínua;
(d)
é contínua, então
é contínua;
(e) Se o limite de
em
não existe, então
não é contínua em
;
(f)
é contínua em
.
(a) Se o limite de
(b) Se não existe limite de
© Se
(d)
(e) Se o limite de
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lista de afirmações sobre limites e continuidade de funções. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação uma por uma, verificando se são verdadeiras ou falsas e justificando com base na teoria.
Passo 2
(a) Se o limite de
em
existe, então
está definida em
;
Vamos pensar nisso: para o limite de
em
existir, significa que conforme
se aproxima de
,
se aproxima de algum valor específico. Mas será que isso garante que
está definida exatamente em
?
Na verdade, não. Podemos ter situações onde o limite existe, mas
não está definida naquele ponto. Por exemplo, considere
para
. O limite quando
tende a 0 é 1, mas
não está definida.
Resposta: Falsa.
Passo 3
(b) Se não existe limite de
em
, então
não admite limites laterais em
;
Aqui, estamos afirmando que se o limite geral n��o existe, então os limites laterais também não existem. Mas será que é assim?
Na verdade, podemos ter que os limites laterais existem individualmente, mas são diferentes, fazendo o limite geral não existir. Por exemplo, considere
. Os limites laterais são 1 pela esquerda e -1 pela direita, mas o limite geral não existe.
Resposta: Falsa.
Passo 4
© Se
é contínua, então
é contínua;
Vamos ver: se
é contínua em um ponto, então operações como valor absoluto geralmente preservam a continuidade. O valor absoluto é uma função contínua, então a composição de duas funções contínuas continua sendo contínua.
Resposta: Verdadeira.
Passo 5
(d) Se
é contínua, então
é contínua;
Agora, a gente está dizendo que se o valor absoluto de
é contínuo, então
também deve ser contínuo. Mas isso nem sempre é verdade. Podemos ter que
não é contínua, mas seu valor absoluto
é.
Por exemplo, considere
. Aqui,
para todo
, que é uma função contínua, mas
não é contínua em
.
Resposta: Falsa.
Passo 6
(e) Se o limite de
em
não existe, então
não é contínua em
;
Vamos pensar: para
ser contínua em
, é necessário que o limite exista e que seja igual a
. Se o limite não existe, já não tem como a função ser contínua nesse ponto.
Resposta: Verdadeira.
Passo 7
(f)
é contínua em
.
Aqui, a afirmação diz que se os limites laterais são iguais, então
é contínua em
. Mas isso não necessariamente garante a continuidade. Para
ser contínua em
, além dos limites laterais iguais, é preciso que
exista e seja igual a esse limite.
Por exemplo, considere
. Os limites laterais quando
tende a 0 são 0, mas
, então
não é contínua em 0.
Resposta: Falsa.
Resposta
(a) Falsa; (b) Falsa; © Verdadeira; (d) Falsa; (e) Verdadeira; (f) Falsa.
Exercícios relacionados
Seja
uma função satisfazendo
.
(a) Calcule o valor de ;
(b) O cálculo está correto? Justifique!
© Mostre que .
(a) Calcule o valor de
(b) O cálculo
© Mostre que
Supondo que
, calcule o valor de
.
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
0
A função
satisfaz a equação:
. Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de
.