A função
satisfaz a equação:
. Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre funções implícitas. A função
satisfaz a equação
. A gente precisa verificar se essa equação realmente define uma única função
e, depois, calcular a derivada
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente técnicas de funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. A ideia é isolar
em função de
para ver se conseguimos expressar
como uma função única de
.
Passo 3
Vamos começar distribuindo o
na expressão:
Agora, queremos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para achar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Então,
define uma única função, desde que
(pois dividir por zero não é permitido).
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular a derivada
. Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar.
Primeiro, reescrevemos
:
Aplicando a derivada:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
0
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de em
existe, então
está definida em
;
(b) Se não existe limite de em
, então
não admite limites laterais em
;
© Se é contínua, então
é contínua;
(d) é contínua, então
é contínua;
(e) Se o limite de em
não existe, então
não é contínua em
;
(f) é contínua em
.
(a) Se o limite de
(b) Se não existe limite de
© Se
(d)
(e) Se o limite de
(f)
Mostre que a função abaixo é derivável.
Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.