A função y(x) satisfaz a equação: (raiz(y) - 1) * x = raiz(y). Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de y'(2).

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre funções implícitas. A função satisfaz a equação . A gente precisa verificar se essa equação realmente define uma única função e, depois, calcular a derivada . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente técnicas de funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . A ideia é isolar em função de para ver se conseguimos expressar como uma função única de .

Passo 3

Vamos começar distribuindo o na expressão:
Agora, queremos reunir os termos com de um lado:
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para achar , elevamos ambos os lados ao quadrado:
Então, define uma única função, desde que (pois dividir por zero não é permitido).

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular a derivada . Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar.
Primeiro, reescrevemos :
Aplicando a derivada:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

O valor de é .

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