Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
raiz(x^2 - x)
0

Passo 1

Beleza! Vamos desenhar o gráfico da função . Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de funções, como domínio, limites, assíntotas e extremos. Vamos descobrir onde a função está definida, como ela se comporta nos limites, se tem assíntotas e onde atingem seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa. A raiz quadrada só aceita números maiores ou iguais a zero.
Resolvendo a inequação:
Os pontos críticos são e . Vamos analisar os intervalos:
  1. : Por exemplo, , temos → Válido.
  2. : Por exemplo, , temos → Inválido.
  3. : Por exemplo, , temos → Válido.
Portanto, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos investigar o comportamento da função nos limites, ou seja, o que acontece com quando tende a mais ou menos infinito.
  • Quando :
Portanto, se comporta aproximadamente como para .
  • Quando :
Portanto, se comporta aproximadamente como para .
Isso sugere que as assíntotas da função são e .

Passo 4

Vamos agora encontrar os extremos da função, ou seja, onde ela atinge seus valores máximos ou mínimos. Para isso, derivamos e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos :
Igualando a derivada a zero:
No entanto, precisamos verificar se está no domínio da função. Vimos que o dom��nio é . Como está entre 0 e 1, não está no domínio. Portanto, a função não possui extremos nesse intervalo.

Passo 5

Vamos identificar os pontos de interseção com os eixos.
  • Interseção com o eixo x:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são e .
  • Interseção com o eixo y:
Já temos o ponto .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função :
  • O domínio é .
  • Assíntotas oblíquas: quando e quando .
  • Pontos de interseção com o eixo x: e .
  • Não há extremos no domínio considerado.
O gráfico se aproxima das assíntotas conforme tende a e passa pelos pontos e .

Resposta

O gráfico da função está definido para e , possui assíntotas oblíquas nas retas e , intercepta o eixo x nos pontos e , e não apresenta extremos no domínio. O esboço reflete esses comportamentos, aproximando-se das assíntotas conforme .

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