Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
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Passo 1
Beleza! Vamos desenhar o gráfico da função
. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de funções, como domínio, limites, assíntotas e extremos. Vamos descobrir onde a função está definida, como ela se comporta nos limites, se tem assíntotas e onde atingem seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa. A raiz quadrada só aceita números maiores ou iguais a zero.
Resolvendo a inequação:
Os pontos críticos são
e
. Vamos analisar os intervalos:
-
: Por exemplo, , temos → Válido. -
: Por exemplo, , temos → Inválido. -
: Por exemplo, , temos → Válido.
Portanto, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos investigar o comportamento da função nos limites, ou seja, o que acontece com
quando
tende a mais ou menos infinito.
- Quando
:
Portanto,
se comporta aproximadamente como
para
.
- Quando
:
Portanto,
se comporta aproximadamente como
para
.
Isso sugere que as assíntotas da função são
e
.
Passo 4
Vamos agora encontrar os extremos da função, ou seja, onde ela atinge seus valores máximos ou mínimos. Para isso, derivamos
e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos
:
Igualando a derivada a zero:
No entanto, precisamos verificar se
está no domínio da função. Vimos que o dom��nio é
. Como
está entre 0 e 1, não está no domínio. Portanto, a função não possui extremos nesse intervalo.
Passo 5
Vamos identificar os pontos de interseção com os eixos.
- Interseção com o eixo x:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são
e
.
- Interseção com o eixo y:
Já temos o ponto
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- O domínio é
. - Assíntotas oblíquas:
quando e quando . - Pontos de interseção com o eixo x:
e . - Não há extremos no domínio considerado.
O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
tende a
e passa pelos pontos
e
.
Resposta
O gráfico da função
está definido para
e
, possui assíntotas oblíquas nas retas
e
, intercepta o eixo x nos pontos
e
, e não apresenta extremos no domínio. O esboço reflete esses comportamentos, aproximando-se das assíntotas conforme
.