Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! ( ) Para 0 < a < b, vale 0 < raiz(a b) < (a + b) / 2 < b.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: Para , vale . Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo números positivos. Para resolver, vamos verificar cada parte dessa cadeia de desigualdades usando conceitos básicos de álgebra e média aritmética e geométrica.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que tanto quanto são números positivos e é menor que .

Passo 3

Vamos verificar a primeira parte da desigualdade: . Como e são positivos, o produto também é positivo. A raiz quadrada de um número positivo é positiva, então é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui, estamos comparando a média geométrica com a média aritmética . Sabemos que, para números positivos diferentes, a média geométrica é sempre menor que a média aritmética. Portanto, é verdadeira.

Passo 5

Por fim, analisamos . Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Como isso é dado no enunciado ( ), a desigualdade também é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira para .

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