Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! ( ) Para
, vale
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Para
, vale
. Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo números positivos. Para resolver, vamos verificar cada parte dessa cadeia de desigualdades usando conceitos básicos de álgebra e média aritmética e geométrica.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que tanto
quanto
são números positivos e
é menor que
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira parte da desigualdade:
. Como
e
são positivos, o produto
também é positivo. A raiz quadrada de um número positivo é positiva, então
é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui, estamos comparando a média geométrica
com a média aritmética
. Sabemos que, para números positivos diferentes, a média geométrica é sempre menor que a média aritmética. Portanto,
é verdadeira.
Passo 5
Por fim, analisamos
. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como isso é dado no enunciado (
), a desigualdade
também é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira para
.